1. Паралельні прямі у просторі

Дві прямі в просторі називаються паралельними, якщо вони лежать в одній площині і не перетинаються. Прямі, що не перетинаються і не лежать в одній площині, називаються мимобіжними (рис. 11).

Теорема 2.1. Через точку, що не лежить на даній прямій, можна провести пряму, паралельну цій прямій, і тільки одну.

Зауваження. Твердження єдиності в теоремі 2.1 не є простим наслідком аксіоми паралельних, тому що цією аксіомою стверджується єдиність прямої, паралельної даній в даній площині. Тому це твердження вимагає доведення.

Доведення. Нехай а — дана пряма і А — точка, що не лежить на цій прямій (рис. 12). Проведемо через пряму а і точку А площину α. Проведемо через точку А в площині α пряму а₁ паралельну а. Доведемо, що пряма а₁, паралельна а, єдина.

Допустимо, що існує інша пряма а₂, яка проходить через точку А і паралельна прямій а. Через прямі а і а₂ можна провести площину α₂.

Площина α₂ проходить через пряму а і точку А; тому по теоремі 1.1 вона збігається з α. Тоді по аксіомі паралельних прямі а₁ і а₂ збігаються. Теорема доведена.

Мал. 11 Мал. 12

2. Ознака паралельності прямих

Теорема 2.2. Дві прямі, паралельні третій прямій, паралельні.

Доведення. Нехай прямі b і с паралельні прямій а. Доведемо, що прямі b і с паралельні.

Випадок, коли прямі а, b, с лежать в одній площині, був розглянутий у планіметрії. Тому припустимо, що наші прямі не лежать в одній площині. Нехай β - площина, в якій лежать прямі а і b, а γ - площина, у якій лежать прямі аіс. Площини β і γ різні (рис. 13). Візьмемо на прямій b довільну точку В и проведемо площину γ₁ через пряму с і точку В. Вона перетне площину β по прямій b₁.

Пряма b₁ не перетинає площину γ. Дійсно, точка перетину повинна належати прямій а, тому що пряма b₁ лежить у площині β. З іншого боку, вона повинна лежати на прямій с, оскільки пряма b₁ лежить у площині γ₁. Але прямі а і с як паралельні не перетинаються.

Оскільки пряма b₁ лежить у площині β і не перетинає пряму а, то вона паралельна прямій а, а отже, збігається з b за аксіомою паралельних. Таким чином, пряма b, збігаючись з прямою b_1, лежить в одній площині з прямою с (у площині γ₁) і не перетинає її. Виходить, прямі b і с паралельні. Теорему доведено.

Мал. 13

3. Ознака паралельності прямої і площини

Пряма і площина називаються паралельними, якщо вони не перетинаються.

Теорема 2.3. Якщо пряма, що не належить площині, паралельна якій-небудь прямій у цій площині, то вона паралельна і самій площині.

Д оведення. Нехай α - площина, а — пряма, яка їй не належить, і а₁ - пряма у площині α, паралельна прямій а. Проведемо площину α₁ через прямі а і а₁ (рис. 14). Площини α і α₁ перетинаються по прямій а₁. Якби пряма а перетинала площину а, то точка перетину належала б прямій а₁. Але це неможливо, тому що а і а₁ паралельні. Виходить, пряма а не перетинає площину α, а тому паралельна площині α. Теорема доведена.

Мал.14

Тема. Паралельність площин

План

1. Ознака паралельності площини.

2. Існування площини, паралельної даній площині.

3. Властивості паралельних площин.