Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1314 вуза, 5303 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Восточноукраинский национальный университет им. В. Даля
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:
Лекції з Функції.doc
Скачиваний:
0
Добавлен:
01.07.2025
Размер:
2.92 Mб
Скачать
☆
►Содержание►

Основні властивості кореня

n = 2k + 1- непарне число

n = 2k – парне число

1. = -

=

2. =

Для довільних значень n і k (n )

3. При

4. При

5. При ,

Наслідки

При , -

винесення множника з-під знака кореня

При , -

внесення множника під знак кореня

6. При ,

7. При - основна властивість кореня

8. При , якщо , то .

4. Степінь із раціональним показником

Вам вже знайоме поняття степеня числа з цілим показником.

Для будь-яких чисел а, b і будь-яких цілих чисел m і n справедливі рівності:

  1. а а = а

  2. а : а = а , а 0

  3. =

  4. =

  5. = , b 0

  6. =

  7. = 1, а 0

  8. ,

Степенем числа а > 0 з раціональним показником r = , де m – ціле число, а n - натуральне (n > 1), називається число .

Степінь числа 0 визначена тільки для додатних показників; по визначенню = 0 для будь-якого r > 0.

Для будь-яких раціональних чисел r і s і будь-яких додатних a і b виконуються рівності:

1) =

2) : =

3) =

4) =

5) =

6) Нехай r – раціональне число й 0 < a < b. Тоді < при r > 0,

> при r < 0.

7) Для будь-яких раціональних чисел r і s з нерівності r > s випливає, що

> при а > 1,

< при 0 < a < 1.

5. Розв’язання вправ

  1. Обчислити:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) .

  1. Знайдіть значення виразу:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ∙ ;

6) ∙ ;

7) ∙ ;

8) ∙ ;

9) ;

10) ;

11) ;

12) .

  1. Знайдіть значення виразу:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) .

  1. Винесіть множник за знак кореня: (a > 0, b > 0)

1) ; 2) ; 3) ; 4)

  1. Винесіть множник за знак кореня:

1) ; 2) ; 3) ; 4)

  1. Внести під знак кореня (a > 0, b > 0):

1) a ; 2) -b ; 3) ab ; 4) ab2 .

  1. Внести під знак коренячи:

1) a ; 2) a3 ; 3) ab ; 4) –b .

  1. Розв'яжіть рівняння:

1) х3 = 7; 2) х6 = 3; 3) х5 = -5; 4) х8 = -13; 5) х5 = -5; 6) х3 = -64.

  1. Подайте у вигляді кореня з числа вираз:

7 ; 4 ; а ; 2b ; b ; х .

  1. Подайте вираз у вигляді степеня з раціональним показником:

; ; ; ; 2 ; 3

  1. Подайте вираз у вигляді степеня з раціональним показником:

    1. а а а ;

    2. ;

    3. ;

    4. ;

    5. .

  1. Обчислити:

    1. 5 5 5 5 ;

    2. 43 22;

    3. 2430,4;

    4. ;

    5. 16 ;

    6. ;

    7. 8 : (8 9 );

    8. .

  1. Розкласти на множники:

1) + ;

2) а - а ;

3) 3 + 3 ;

4) - ;

5) а + а ;

6) 4 - 4 ;

7) 15аb + 5а b;

8) а + b + а + а b .

  1. Обчислити:

    1. 2 8 ;

    2. 4 16 ;

    4. ;

  1. Порівняйте числа:

    1. 9 і 9 ;

    2. 2 і 2 ;

    3. і 2 ;

    4. 2300 і 3200;

    1. і 3 ;

    2. і 6 .

Тема. Ірраціональні рівняння

План

  1. Поняття ірраціонального рівняння.

  2. Розв’язування ірраціональних рівнянь.

1. Поняття ірраціонального рівняння

Означення. Рівняння, у яких змінна міститься під знаком кореня, називають ірраціональним.

2. Розв’язування ірраціональних рівнянь

  1. За допомогою піднесення обох частин рівняння до одного степеня

При піднесенні обох частин рівняння до непарного степеня отримуємо рівняння, рівносильне заданому (на ОДЗ)

При піднесенні обох частин рівняння до парного степеня можуть з’явитися сторонні корені, які відсіюють перевіркою

Приклад 1. Розв'язати рівняння = 2.

3= 23,

х – 1 = 8,

х = 9.

Відповідь: 9

Приклад 2. Розв'язати рівняння = х.

)2= х2,

2х + 3 = х2,

-х2 + 2х + 3 = 0,

х1 = -1, х2 = 3.

Перевірка:

= -1. = 3.

= -1. = 3,

1 -1 = 3,

3 = 3

Відповідь : 3

  1. За допомогою заміни змінних

Якщо в рівнянні змінна входить в одному і тому самому вигляді, то зручно відповідний вираз із змінною позначити однією буквою (новою змінною).

Приклад 3. Розв'язати рівняння + = 2.

Позначимо = t.

t 2 + t = 2,

t 2 + t – 2 = 0,

t1 = 1, t2 = -2.

= 1, = -2,

х = 1 х = -8

Відповідь: 1;-8.

Вправи

  1. Розв'язати рівняння

  1. = 1;

  2. = -3;

  3. = -3;

  4. = 5;

  5. = 3;

  6. = х – 5;

  7. + х = 4;

  8. = -х;

  9. = 0;

  10. = 10;

  11. = 2;

  12. = 5;

  13. = -3;

  14. = х – 5;

  15. х + = 6;

  16. = х – 2;

  17. 3 + = х;

  18. = ;

  19. = ;

  20. 2 + = .

1. = ;

2. = ;

3. х = ;

4. х -2 = ;

5. х = ;

6. х +1 = ;

7. = 6;

8. = ;

9. = ;

10. = 2х;

11. = 3;

12. = 2;

13. = 4;

14. = 1;

15. = 1 + ;

16. - = 2.

Тема. Числові функції, способи їх задання. Основні властивості функції. Обернена і складені функції

План

  1. Числові функції.

  2. Графік функції.

  3. Основні властивості функції.

  4. Способи задання функції.

  5. Властивості та графіки основних видів функцій.

1. Поняття числової функції

Числовою функцією з областю визначення D називається залежність, при якій кожному числу х із множини D (області визначення) ставиться у відповідність єдине число у.

Записують цю відповідність так:

у = f(х).

Позначення і терміни

D(f) – область визначення

Е (f) – область значень

х – аргумент (незалежна змінна)

у – функція (залежна змінна)

f – функція

f(х0) – значення функції f у точці х0

2. Графік функції

Графіком функції f називається множина всіх точок координатної площини з координатами (х; f(х)), де перша координата х «пробігає» всю область визначення функції, а друга координата – це відповідне значення функції f у точці х.

3. Основні властивості функції

Область визначення функції f – це множина тих значень, яких може набувати аргумент х.

Вона позначається D(f).

Область значень функції f – це множина, яка складається з усіх чисел f(х), де х належить множині визначення. Її позначають Е (f).

Монотонність функції

Функція f(х) зростаюча:

якщо х2 > x1, то f(х2) > f(х1)

(при збільшенні аргументу відповідні точки графіка піднімаються)

Функція f(х) спадаюча:

якщо х2 > x1, то f(х2) < f(х1)

(при збільшенні аргументу відповідні точки графіка опускаються)

Парність і непарність функції

Функція f(х) парна:

f(- х) = f(х)

для всіх х з області визначення.

Графік парної функції симетричний відносно осі Оу

Функція f(х) непарна:

f(- х) = - f(х)

для всіх х з області визначення.

Графік непарної функції симетричний відносно початку координат - точки О

4. Способи задання функції

1) Аналітичний спосіб

Функція задається за допомогою математичної формули

Наприклад, у = х2, у = 5х - 8

2) табличний спосіб

Функція задається за допомогою таблиці

Наприклад,

х

1

2

3

4

у

2

4

6

8

3) Описовий спосіб

Функція задається словесним описом

4) Графічний спосіб

Функція задається за допомогою графіка

5. Властивості та графіки основних видів функцій.

1. Лінійна функція у = kx + b

k > 0

Властивості:

1. D(у) =

2. Е (у) =

3. Ні парна, ні непарна

4. Зростає: х

k < 0

Властивості:

1. D(у) =

2. Е (у) =

3. Ні парна, ні непарна

4. Спадає: х

Властивості:

1. D(у) =

2. Е (у) =

3. Непарна

4. При k > 0 зростає: х ;

при k < 0 спадає: х

Властивості:

1. D(у) =

2. Е (у) = b

3. Парна

4. Постійна

2. Обернена пропорційність, функція

k > 0

Властивості:

1. D(у) =

2. Е (у) =

3. Непарна

4. Спадає на кожному з проміжків:

k < 0

Властивості:

1. D(у) =

2. Е (у) =

3. Непарна

4. Зростає на кожному з проміжків:

3. Функція у = ах2 ( )

a > 0

Властивості:

1. D(у) =

2. Е (у) =

3. Парна

4. Спадає на проміжку , зростає на проміжку

a < 0

Властивості:

1. D(у) =

2. Е (у) =

3. Парна

4. Зростає на проміжку , спадає на проміжку

4. Квадратична функція у = ax2 + bx + c ( )

a > 0

Властивості:

1. D(у) =

2. Е (у) =

3. У загальному випадку - ні парна, ні непарна, при b = 0 функція у = ax2 + c парна

4. Спадає на проміжку , зростає на проміжку

a < 0

Властивості:

1. D(у) =

2. Е (у) =

3. У загальному випадку - ні парна, ні непарна, при b = 0 функція у = ax2 + c парна

4. Зростає на проміжку , спадає на проміжку

Основні варіанти розміщення графіка функції у = ax2 + bx + c ( )

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности