Основні координатні формули

Відстань між точками
На площині	У просторі

Координати середини відрізка

;	; ;

Тема. Скалярний добуток векторів. Кут між двома векторами на площині та у просторі

План

Скалярний добуток векторів
Кут між двома векторами на площині та у просторі.

Скалярний добуток векторів

(a₁;a₂;a₃) і (b₁;b₂;b₃)

· = ·∙ ,

· = (a₁∙b₁+ a₂∙b₂+ b₃∙a₃)

· = 0 ⟺

Якщо вектори перпендикулярні, то їх скалярний добуток дорівнює нулю.

2. Кут між двома векторами на площині та у просторі.

Рис.7 Рис. 8

Вправи

Сторона квадрата ОАВС дорівнює 5. Знайдіть координати його вершин.
Сторона куба дорівнює 10. Знайдіть координати його вершин.
Побудуйте координати точки А (1;2;3), В (3;-1;3), З(1;2;0), F(0;1;2), О(0;0;-1).
Запишіть координати точки А, якщо відомо, що вона лежить:

а) на негативній півосі z на відстані 5 від початку координат;

б) у площині ху на відстані 3 і 4 від осі х и в відповідно;

в) на відстані 3, 4, 5 від координатних площин xy, zx, zy відповідно;

г) на відстані 3, 4, 5 від координатних осей х, у, z відповідно.

Дана точка А(3;2;1). Укажіть координати основ перпендикулярів, опущених із цієї точки на координатні площини.
Дана точка А(3;2;1). Укажіть координати основ перпендикулярів, опущених із цієї точки на координатні осі.
Знайдіть відстань між двома точками, що лежать на координатній прямій:
1. А (1) і В (5);
2. А (-3) і В (5);
3. А (-5) і В (-7);
4. А (a) і В(b).
Знайдіть відстань між двома точками, що лежать на координатній площині:
1. А (1;2) і В (4;6);
2. А (1;7) і В (-5;-1);
3. А (а; b) і В (с; d).
Знайдіть відстань АВ, якщо А (-1;3;-1), В (-1;0;5).
Знайдіть відстань від точки А (-1;2;-2) до початку координат.
Знайдіть периметр трикутника АВС, якщо А (7;1;-5), В(4;-3;-4), С(1;3;-2).
На якій відстані від координатних площин і координатних осей розташована точка А(-2;3;4)?
Яка із точок – А(2;1;5) або В(-2;1;6) – лежить ближче до початку координат?
Дані точки К(0;2;1), Р(2;0;3) і Т(-1;у;0). Знайдіть таке значення у, щоб виконувалася умова: КТ = РТ.
Які координати середини С відрізка АВ, якщо А(0;2;-11), В(2;0;-1)?
Дано С(2;6;3), А(4;2;1). Знайдіть координати точки В, якщо відомо, що АС = ВР і точки А, В, С лежать на одній прямій.
Знайдіть координати середин сторін трикутника АВС, якщо А(2;0;2), В(2;2;0), С(2;2;2).
Знайдіть довжину медіани АМ трикутника АВС, якщо А(2;1;3), В(2;1;5), С(0;1;1).
Точки М(-2;3;4), N(3;5;2) і К(3;-5;1) – середини сторін трикутника. Знайдіть координати вершин цього трикутника.
Точки А(4;2;10), В(10,-2;8), С(-2;0;6) – вершини паралелограма АВСD. Знайдіть координати вершини D.
Дано координати чотирьох вершин куба АВСDА₁В₁С₁D₁: А(0;0;0), В(0;0;1), D(0;1;0), А₁(1;0;0). Знайдіть координати інших вершин куба.
Дані точки А(-4;7;0) і В(0;-1;2). Знайдіть відстань від початку координат до середини відрізка АВ.
Визначити вид трикутника АВС, якщо:
1. А(7;1-7), В(0;8;-7), З(0;1;0);
2. А(0;-10;-6), В(0;-8;-6), З(-1;-8;-5);
3. А(-5;2;1), В(-4;2;1), З(-5;3;1).
Дано точки А(2;3;4), В(1;1;1). Які координати векторів , ?
Які координати вектора , якщо А(5;1;-3), точка О – початок координат?
Знайти , якщо А(1;2;3), В(3;2;1).
Дані точки А(3;-2;5), В(-4;6;1), С(-2;-6;-11), D(х; у; z). Знайдіть х, у, z, якщо = .
Абсолютна величина вектора (5;3; z) дорівнює 9. Знайдіть z.
Дано вектори (4;-5;6), (-1;2;5). Знайдіть: + , - , + , - .
Дано (1;-2;3), (-2;1;-3). Знайдіть координати векторів 2 , -3 , 2 + 3 , 2 - 3 .
Знайдіть , якщо (1;2;2).
Чи колінеарні вектори (2;3;8) і (-4;6;-16)?
При якому значенні m і n вектори (15;m;1) і (18;12;n) колінеарні?
Чи колінеарні вектори й , якщо А(3;-2;5), В(-1;4;7), С(1;3;6), D(-3;9;18)?
При яких значеннях m і n вектори й колінеарні, якщо А(1;0;2), В(3;n;5), С(2;2;0), D(5;4;m)?
Знайдіть , якщо (-2;3;1), (-4;-5;2).
Знайдіть , якщо = 5, = 4, а кут між векторами рівний 120⁰.
Чи перпендикулярні вектори (2;3;6) і (3;2;-1)?
При якому значенні m вектори (6;0;12) і (-8;13;m) перпендикулярні?
Знайдіть кут між векторами (1;1;0) і (1;0;1).
Знайдіть cos АВС, якщо А(1;-3;4), В(2;-2;5), С(3;1;3).
Знайдіть довжину діагоналі АС паралелограма АВСD, якщо А(2;-6;0), В(-4;8;2), D(0;-12;0).
Знайдіть кут між стороною АС і медіаною ВМ трикутника АВС, якщо А(-3;-5;1),