Декартові координати у просторі

Візьмемо три взаємно перпендикулярні прямі х, у, z, що перетинаються в одній точці О (рис. 3). Проведемо через кожну пару цих прямих площину. Площина, що проходить через прямі х и у, називається площиною ху. Дві інші площини називаються відповідно хz і уz. Прямі х, у, z називаються координатними осями (або осями координат), точка їх перетинання О — початком координат, а площини ху, уz, хz — координатними площинами. Точка О розбиває кожну з осей координат на дві напівпрямі — півосі. Домовимося одну з них називати додатною, а іншу — від’ємною.

Рис. 3 Рис. 4 Рис. 5

Візьмемо тепер довільну точку А и проведемо через неї площину, паралельну площині уz (рис. 4). Вона перетне вісь х у деякій точці Ах. Координатою х точки А називається число, рівне по абсолютній величині довжині відрізка ОА_Х: додатне, якщо точка Ах лежить на додатній півосі х, і від’ємне, якщо вона лежить на від’ємній півосі. Якщо точка Ах збігається із точкою О, то вважаємо, що х = 0. Аналогічно визначаємо координати у и z точки А. Координати точки будемо записувати в дужках поруч із літерним позначенням точки:

А (х; у; z). Іноді будемо позначати точку просто її координатами (х; у; z).

Приклад: Дана точка А (2; 5; 5).

2. Розкладання вектора на складові (базисні вектори).

Розкладання вектора

Розглянемо у просторі прямокутну систему координат Охуz. Виділимо на координатних осях Ох, Оу, Оz одиничні вектори (орти), позначувані , , відповідно. Виберемо довільний вектор простору та сполучимо його початок з початком координат: . Знайдемо проекції вектора на координатні осі. Проведемо через кінець вектора площини, паралельні координатним площинам. Точки перетинання цих площин з осями позначимо відповідно через М1, М2 і М3. Одержимо прямокутний паралелепіпед; однієї з діагоналей якого є вектор . Тоді прх = , пру = , прz = . По визначенню суми декількох векторів знаходимо = + + . Таким чином, = , = , то = . (1) Але = · , = · . (2) Позначимо проекції вектора на осі Ох, Оу, Оz відповідно через ax, ay, az, тобто = ax, = ay, = az. Тоді з рівностей (1) і (2) одержуємо = ax ay · + az · Ця формула є основною у векторному обчисленні і називається розкладанням вектора по ортах координатних осей.

Тема. Довжина вектора. Відстань між точками у просторі. Координати середини відрізка

План

1. Довжина вектора.

2. Відстань між точками у просторі.

3. Координати середини відрізка.

1. Довжина вектора

Вектором називається спрямований відрізок. Довжина цього відрізка називається довжиною (модулем, абсолютною величиною) вектора.

= A₁А₂

Нехай A₁ (х₁; у₁; z₁) і А₂(х₂; у₂; z₂) початок і кінець вектора . Тоді довжину вектора знайдемо по формулі:

= =

2. Відстань між точками у просторі

Виразимо відстань між двома точками А₁(х₁; у₁; z₁) і А₂(х₂; у₂; z₂) через координати цих точок.

Розглянемо спочатку випадок, коли пряма А₁А₂ не паралельна осі z (рис. 5). Проведемо через точки А₁ і А₂ прямі, паралельні осі z. Вони перетинають площину ху в точках і . Ці точки мають ті ж координати х, у, що й точки А₁ і А₂, а координата z у них дорівнює нулю. Проведемо тепер площину через точку А₂, паралельну площині ху. Вона перетне пряму А₁ у деякій точці С. За теоремою Піфагора

А₁ = А₁С² + С

Відрізок СА₂ дорівнює відрізку , а

= (х₂ – х₁)² + (у₂ – у₁)².

Довжина відрізка А₁С рівна . Тому

А₁ = (х₂ – х₁)² + (у₂ – у₁)² + (z₂ – z₁)².

Якщо відрізок А₁А₂ паралельний осі z, то А₁А₂ = .

Такий же результат дає і знайдена формула, тому що в цьому випадку х_{1 =} х₂, у₁ = у₂.

Таким чином, відстань між точками А₁ і А₂ знаходять за формулою:

А₁А₂ = .

3. Координати середини відрізка

Нехай A₁(х₁; у₁; z₁) і А₂(х₂; у₂; z₂) — дві довільні точки. Виразимо координати х, у, z середини С відрізка А₁А₂ через координати його кінців А₁ і А₂ (рис. 6). Для цього проведемо через точки А₁, А₂ і С прямі, паралельні осі z. Вони перетнуть площину ху у точках , і С'(x; y; 0). За теоремою Фалеса точка С є серединою відрізка . А ми знаємо, що на площині ху координати середини відрізка виражаються через координати його кінців за формулами:

Щоб знайти формулу для z, досить замість площини ху взяти площину хz або уz. При цьому для z одержимо аналогічну формулу:

.

Рис. 6