Тема. Векторні величини. Вектори, дії над векторами. Колінеарні вектори.

План

1. Векторні величини.

2. Дії над векторами.

3. Колінеарні вектори.

1. Векторні величини

Поняття вектора виникло для математичного опису широкого класу фізичних величин, серед яких відрізняють скалярні та векторні.

Скалярні величини характеризуються числом при вибраній одиниці виміру. Це, наприклад, площа, маса, робота, температура й т.д.

Для завдання таких величин, як швидкість, переміщення, сила, потрібно вказати ще і їх напрямок.

Величини, які характеризуються невід’ємним числом при даній одиниці виміру (модулем) і напрямком, називаються векторними.

Векторні величини звичайно зображують спрямованими відрізками (відрізками певної довжини зі стрілками на кінцях) (рис.1). Довжина спрямованого відрізка при обраній одиниці виміру дорівнює модулю даної векторної величини, а його напрямок збігається з напрямком цієї величини.

Рис. 1 Рис. 2

Вектор являє собою математичну величину, яка характеризується числовим значенням (модулем) і напрямком.

Слово вектор походить від латинського vektor — той, що несе. Поняття вектора з'явилося на початку XIX ст. Основи векторного обчислення заклали ірландський математик У. Гамильтон і німецький математик Г. Грасман. Сучасний вид здобуває наприкінці XIX ст. у роботах американського фізика й математика Дж. Гиббса та англійського фізика О. Хевисайда.

Вектори, як і відповідні їм векторні величини, зображують спрямованими відрізками й відрізняються залежно від можливості вибору початку зображення даного вектора

Для позначення векторів використовують латинські букви a, b, c, … .Можна також позначити вектор, вказавши його початок та кінець. При цьому початок вектора ставиться на першому місці. Замість слова «вектор» над літерним позначенням вектора ставиться стрілка або риска. Вектор на малюнку 1 можна позначити , , , .

Вектори й називаються однаково спрямованими, якщо промені АВ і CD однаково спрямовані. Вектори й називаються протилежно спрямованими, якщо промені АВ і CD протилежно спрямовані. На рисунку 2 вектори й однаково спрямовані, а вектори і протилежно спрямовані.

2. Дії над векторами

Абсолютною величиною (або модулем) вектора називається довжина відрізка, що зображує вектор. Абсолютна величина вектора позначається .

Початок вектора може збігатися з його кінцем. Такий вектор будемо називати нульовим вектором. Про напрямок нульового вектора не говорять. Абсолютна величина нульового вектора вважається рівною нулю.

Два вектори називаються рівними, якщо вони сполучаються паралельним переносом. Це означає, що існує паралельний перенос, який переводить початок і кінець одного вектора відповідно в початок і кінець іншого вектора.

З даного визначення рівності векторів випливає, що рівні вектори однаково спрямовані та рівні за абсолютною величиною.

Або: якщо вектори однаково спрямовані та рівні за абсолютною величиною, то вони рівні.

Координатами вектора з початком у точці А₁ (х₁, в₁, z₁) і кінцем у точці А₂ (х₂, в₂, z₂) називають числа х₂ – х₁, в₂ – в₁, z₂ – z₁.

(х₂ – х₁, в₂ – в₁, z₂ – z₁)

Рівні вектори мають рівні відповідні координати. І обернено: якщо у векторів відповідні координати рівні, то вектори рівні.

Це дає підставу позначати вектор його координатами: (a₁;a₂;a₃) або просто .

Дії над векторами
Сума векторів	(a1;a2;a3) + (b1;b2;b3) = (a1+b1;a2+b2; a3 + b3)
Різниця векторів	(a1;a2;a3) - (b1;b2;b3) = (a1-b1;a2-b2; a3 - b3)
Множення вектора на число	λ · =

3. Колінеарність векторів

Колінеарні вектори – ненульові вектори, що лежать на одній прямій або на паралельних прямих.

Колінеарні вектори або однаково спрямовані, або протилежно спрямовані.

і колінеарні ⟺ = λ ⟺ (відповідні координати пропорційні)

Тема. Прямокутна система координат на площині й у просторі. Розкладання вектора на складові (базисні вектори). Дії над векторами, що задані координатами

План

1. Прямокутна система координат на площині й у просторі.

2. Розкладання вектора на складові (базисні вектори).

3. Дії над векторами, що задані координатами.

1. Прямокутна система координат на площині й у просторі.

Вісь – пряма лінія із зазначеним на ній напрямком.

Вісь координат – вісь, на якій заданий початок відліку, одиниця масштабу та кожному дійсному числу відповідає певна точка.

Початок відліку

Декартові координати на площині

На площині
Дві взаємно перпендикулярні осі координат (вісь абсцис Ох, вісь ординат Оу) зі спільним початком відліку. Кожній точці площини ставиться у відповідність пара чисел (хА, уА) — координати проекцій точки на відповідні осі координат