Тема. Монотонність функції, ознаки сталості, зростання і спадання функції

1. Монотонність функції

Достатня умова зростання функції

Достатня умова спадання функції

Якщо в кожній точці інтервалу (a;b) , то функція f(x) зростає на цьому інтервалі.

Якщо в кожній точці інтервалу (a;b) , то функція f(x) спадає на цьому інтервалі.

2. Необхідна і достатня умова сталості функції

Функція f(x) є сталою на інтервалі (a;b) тоді і тільки тоді, коли в усіх точках цього інтервалу.

1. Екстремуми (максимуми і мінімуми) функції

Точки максимуму

Точки мінімуму

Точка х₀ з області визначення функції f(x) називається точкою максимуму цієї функції, якщо знайдеться - окіл

(х₀ - ; х₀ + ) точки х₀, такий, що для всіх х х₀ з цього околу виконується нерівність

- точка максимуму

Точка х₀ з області визначення функції f(x) називається точкою мінімуму цієї функції, якщо знайдеться - окіл (х₀ - ; х₀ + ) точки х₀, такий, що для всіх х х₀ з цього околу виконується нерівність

- точка мінімуму

Точки максимуму і мінімуму називаються точками екстремуму

Значення функції в точках максимум і мінімуму називаються екстремумами (максимумом і мінімумом) функції

- максимум

- мінімум

2. Критичні точки

Означення

Приклад

Критичними точками функції називаються внутрішні точки її області визначення, у яких похідна функції дорівнює нулю або не існує.

f(x) = х³ – 12х

f´(x) = 3х² – 12х існує на всій області визначення

f´(x) = 0 при 3х² – 12х = 0, х² = 4,

2 – критичні точки

3. Необхідна і достатня умови екстремуму

Необхідна умова екстремуму

Достатня умова екстремуму

У точках екстремуму похідна функції f(x) дорівнює нулю або не існує

(але не в кожній точці х₀ , де f´(x) = 0 або f ´(x₀) не існує, буде екстремум)

Якщо функція f(x) неперервна в точці х₀ і похідна f´(x) змінює знак при переході через точку х₀, то х₀ - точка екстремуму функції f(x)

4. Дослідження функції на екстремуми

Приклад графіка функції у = f(х), що має екстремуми

(х₁, х₂, х₃, х₄, х₅ - критичні точки)

Знаком « » позначено зростання функції, а знаком « »- спадання функції.

Приклад

Схема

Приклад у = f(х) = 3х⁵ – 5х³ + 1

1. Знайти область визначення функції.

Область визначення:

2. Знайти похідну f ´(х) .

f ´(х) =15х⁴ – 15х² = 15х²(х² - 1) =

= 15х²(х - 1) (х + 1)

3. Знайти критичні точки, тобто внутрішні точки області визначення, у яких f ´(х) дорівнює нулю або не існує

f ´(х) існує на всій області визначення.

f ´(х) = 0 при х = 0, х = 1, х = - 1.

4. Позначити критичні точки на області визначення, знайти знак похідної і характер поведінки функції на кожному з інтервалів, на які розбивається область визначення.

5. Відносно кожної критичної точки визначити, чи є вона точкою максимуму або мінімуму, чи вона не є точкою екстремуму.

6. Записати результат дослідження (проміжки монотонності і екстремуми).

f(х) зростає на кожному з проміжків:

і ;

f(х) спадає на .

Точки екстремуму: х_max = - 1; х_min = 1

Екстремуми: у_max = f (-1) = 3; у_min = f (1) = -1.