Тема. Похідна показникової та логарифмічної функцій

План

Похідна показникової функції.
Похідна логарифмічної функції.

1. Похідна показникової функції

1. Число е. У попередніх пунктах графіки показникової функції зображалися у вигляді прямих ліній ( без зламів), до яких у кожній точці можна провести дотичну. Але існування дотичної до графіка функції в точці з абсцисою х_о рівносильне її диференційованості в х_о. Тому природно припустити, що показникова функція диференційована у всіх точках області визначення.

Намалюємо декілька графіків функції у = а^х для а, рівного 2; 2,3; 3; 3,4 (рис. 1), і проведемо до них дотичні в точці з абсцисою 0. Кути нахилу цих дотичних до осі абсцис приблизно рівні 35°, 40°, 48° і 51° відповідно, тобто зі зростанням а кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції у = а^х у точці М (0; 1) поступово збільшується від tg 35° до tg 51°. Представляється очевидним, що, збільшуючи а від 2 до 3, ми знайдемо таке значення а, при яких кутовий коефіцієнт відповідної дотичної рівний 1 ( тобто кут нахилу рівний 45°). Ось точне формулювання цієї пропозиції (ми ухвалюємо без доказу):

Існує таке число, більше 2 і менше 3 (це число позначають буквою е), що показникова функція у = е^х у точці 0 має похідну, рівну 1.

Зауваження. Доведено, що число е ірраціональне, тому записується у вигляді нескінченного десяткового неперіодичного дробу. За допомогою електронних обчислювальних машин знайдене більш двох тисяч десяткових знаків числа е. Перші знаки такі: е = 2,718281828459045... .

Функцію е^х часто називають експонентою.

Формула похідної показникової функції.

Теорема 1. Функція е^х диференційована в кожній точці області визначення, і

(е^х) ' = е^х .

Приклад1. Знайдемо похідну функції у = е^5х:

(е^5х)' = е^5х (5х)' = 5е^5х.

Число е позитивно та відмінно від 1, тому визначені логарифми за основою е.

Визначення. Натуральним логарифмом (позначається 1n) називається логарифм за основою е:

1n x = log_b x.

По основній логарифмічній тотожності для будь-якого додатного числа е^1па = а. Тому а^х може бути записане у вигляді

а^х= (е^1па)^x = е^x1па.

Виведемо формулу похідної показникової функції при будь-якому значенні а.

Теорема 2. Показникова функція а^хдиференційована в кожній точці області визначення, і

(а^х)' = а^хlnа.

Приклад 2. Знайдемо похідні функцій у = 2^х и у = 5 .

По формулі (а^х)'=а^хlnа маємо (2^х)' = 2^хln2; (5^-3х)'=(-3)·5^-3х ln5.

2. Похідна логарифмічної функції

Покажемо спочатку, що логарифмічна функція диференційована в кожній точці. Графіки функцій у = loga x і у = а^х симетричні відносно прямої у = х. Таким чином, показникова функція диференційована в будь-якій точці, а її похідна не обертається в нуль, графік показникової функції має негоризонтальну дотичну в кожній точці. Тому і графік логарифмічної функції має невертикальну дотичну в будь-якій точці. А це рівносильне диференційованості логарифмічної функції на її області визначення.

Похідна логарифмічної функції для будь-якого х з області визначення обчислюється за формулою