6. Механічний зміст похідної

Похідна характеризує швидкість зміни функції при зміні аргументу
S = S (t) – залежність пройденого шляху від часу V = S ′(t) – швидкість прямолінійного руху a = v′(t) – прискорення прямолінійного руху	Зокрема, похідна за часом є мірою швидкості зміни відповідної функції, що може застосовуватися до найрізноманітніших фізичних величин. Наприклад, миттєва швидкість v нерівномірного прямолінійного руху є похідна функції, яка виражає залежність пройденого шляху s від часу t.

7. Зв'язок між диференційованістю і неперервністю функції

Якщо функція f(х) диференційована в точці х0, то вона неперервна в цій точці.

Якщо функція f(х) диференційована на проміжку (тобто в кожній його точці), то вона неперервна на цьому проміжку

Тема. Похідні елементарних функцій . Правила диференціювання функцій

План

1. Похідні елементарних функцій.

2. Правила диференціювання функцій.

1. Похідні елементарних функцій
1		8
2		9
3		10
4	, х 0	11	, a > 0, a - стала
5		12	,
6		13	, , a - стала
7		14	на ОДЗ правої частини формули
2. Правила диференціювання функцій
Правило		Приклад
Сталий множник можна виносити за знак похідної
Похідна суми диференційованих функцій дорівнює сумі їх похідних

Вправи

1. Для функції у = 2х знайдіть приріст функції ∆у, який відповідає приросту аргументу ∆х у точці х₀, якщо:

1) х₀ = 2 і ∆х = 3; 2) х₀ = 1,5 і ∆х = 3,5; 3) х₀ = 0,5 і ∆х = 2,5.

2. Знайдіть приріст ∆у, який відповідає приросту аргументу ∆х у точці х₀ для функції:

1) у = 3х; 2) у = х³; 3) у = х² – х.

3. Користуючись схемою обчислення похідної, знайдіть похідну функції:

1) у = 3х; 2) у = -5х; 3) у = х³.

4. Знайдіть похідну функції:

1. у = х⁸;

2. у = х ^-5;

3. у = х ;

4. у = х²⁰;

5. у = х ^-20;

6. у = х ;

7. у = х + 3;

8. у = х⁵ - х;

9. у = - х³;

10. у = х² + ;

11. у = 2х³ + 3х;

12. f(x) = х² +5x + 2;

13. f(x) = х⁴ - 2x² - 1;

14. f(x) = 2 + 4х³ + 3;

15. f(x) = х⁵ + ;

16. f(x) = х² + ;

17. f(x) = - 3х² + 6х – 1.

5. Знайдіть похідну функції:

1. у = x²(х + 2);

2. у = x²(2х + х⁴);

3. у = (2х - 1)(1 - x²);

4. у = (3 + х³)(2 - x);

5. у = (х⁹ + 11)(х² - 4);

6. у = (х⁸ - 2);

7. у = (3х² - х);

8. у = (х² - 1)(x⁵ + 2);

9. у = (2х + 9);

10. у = (х³ + 16) ;

11. у =

12. у =

13. у =

14. у =

15. у =

16. у =

17. у =

18. у =

19. у = .

6. Обчислити значення похідної f(x) у зазначених точках:

1. f(x) = х² +2x, х = -2; х = ;

2. f(x) = х⁴ - 4x, х = 2; х = -1;

3. f(x) = , х = 0; х = -3;

4. f(x) = , х = - ; х = 0,1.

7. Знайдіть значення х, для яких похідна функції дорівнює нулю:

1. f(x) = 3х² - 6x;

2. f(x) = х³ + х² + 5;

3. f(x) = 12х + ;

4. f(x) = - 2х².

8. Розв'язати нерівність < 0, якщо:

1. f(x) = 2х – х²; 2) f(x) = х³ + 3х²; 3) f(x) = 2х + ; 4) f(x) = .

9. Знайдіть похідну в точці х = 1 наступних функцій:

   1. f(x) = ;

   2. f(x) = ;

   3. f(x) = ;

   4. f(x) = ;

   5. f(x) = ;

   6. f(x) = .