Тема. Границя функції в точці та на проміжку. Властивості границь. Неперервність функції в точці та на проміжку. Властивості неперервних функцій
План
Границя функції в точці та на проміжку.
Властивості границь.
Неперервність функції в точці та на проміжку.
Властивості неперервних функцій.
Поняття границі функції в точці.
Нехай задано деяку функцію, наприклад, f(x) = 2х – 1. Розглянемо графік цієї функції та таблицю її значень у точках, які на числовій прямій розташовані достатньо близько до числа 2.
З таблиці та графіка видно,
що чим ближче аргумент х до числа 2 (це
позначають х
2
і кажуть, що х
прямує до 2), тим ближче значення функції
f(x)
= 2х – 1 до числа 3
(позначають f(x)
3
і кажуть, що f(x)
прямує до 3). Це записують також так:
(2х
– 1) = 3 (читається: «Ліміт
2х – 1 при х,
що прямує до 2, дорівнює 3» і кажуть, що
границя функції 2х – 1 при х,
що прямує до 2 (або границя функції в
точці 2), дорівнює 3.
У загальному випадку запис
означає,
що при
,
тобто В – число, до якого прямує значення
функції f(x),
коли х прямує до а.
Запис позначень і за допомогою знака модуля
Позначення і його зміст |
Ілюстрації |
Запис за допомогою модуля |
На числовій
прямій точка ч знаходиться від точки
а на малій відстані (менше
|
|
|
Значення
|
|
|
Означення границі функції в точці |
||
|
Число В називається границею
функції f(x)
у точці
а (при х, що прямує до
а), якщо для будь-якого
додатного числа
знайдеться таке додатне число
,
що при всіх х |
|
)
на
числовій прямій знаходиться на малій
відстані від В ( менше
)
а,
які задовольняють нерівності
,
виконується нерівність
Властивості границь
Зміст правил граничного переходу |
Запис і формулювання правил граничного переходу |
Якщо f(x)
= c, то
при
|
Границя сталої функції дорівнює цій самій сталій |
Якщо при
|
Границя суми (різниці) двох функцій дорівнює сумі (різниці) їх границь, якщо границі доданків існують |
|
Границя добутку двох функцій дорівнює добутку їх границь, якщо границі множників існують |
|
Сталий множник можна виносити за знак границі |
|
Границя частки двох функцій дорівнює частці їх границь, якщо границі чисельника і знаменника існують і границя знаменника не дорівнює нулю |
і
,
то
(де В
0)
(де
)
Неперервність функції в точці та на проміжку
Функція f(X) називається неперервною в точці а, якщо при , тобто
Властивості неперервних функцій
Якщо функція f(x) неперервна в кожній точці деякого проміжку І, то її називають неперервною на проміжку І.
Якщо функції f(x) і g(x) неперервні в точці а, то сума, добуток і частка неперервних в точці а функцій неперервні в точці а (частка у випадку, коли дільник g(x) 0 )
Графік функції, неперервної на проміжку, - нерозривна лінія на цьому проміжку.
Всі елементарні функції неперервні в кожній точці своєї області визначення, тому на кожному проміжку з області визначення їх графіки – нерозривні лінії.
Якщо на інтервалі
функція f(x)
неперервна і не
перетворюється на нуль, то вона на цьому
інтервалі зберігає сталий знак.
Вправи
Розкрити зміст нерівності
<
.Як зобразити - околицю точки а = - 2, якщо = 0,5.
Розв'язати рівняння та нерівності:
1)
= 4;
2) = 0;
3) = -6;
4) = х;
5) = -х;
6) > 0;
7) < 0;
8)
2;
9) > 7;
10)
-5.
Чи є неперервною в кожній із точок х = -1, х = 1, х = 3 функція, графік якої зображено на рис 1
Рис. 1
Чи є функція безперервною в кожній точці даного проміжку?
f (x) = x5 – 3x2 + 2, (-
; +
);f (x) =
,
[5; +
);f (x) = , (0; + ).
f (x) = x2 – 3x, (- ; + );
f (x) =
,
(0; +
);f (x) =
,
[2; +
).
З'ясувати, до якого числа прагне функція f (x), якщо
f (x) =
при х
0;f (x) = x2 – 5x + 1 при х 1;
f (x) =
при х
2;f (x) =
при х
-1;f (x) =
при х
3.
Знайти: 1)
(
x3 +
2x -
1); 2)
;
3)
.Дослідити функцію f (x) =
у точці х0
= 1.Дослідити функцію f (x) =
,
х
R, x
3
на безперервність у точці х
= 3.Дослідити функцію на безперервність у точках х = 0, х = -1, х = 1, якщо f (x) =
Знайти:
1)
(
x2 +
x +5);
2)
(4x
–x3);
3) ( x2 + 3x -5);
4)
;
5)
;
6)
;
7)
(
x4 -
2x +
5);
8)
.
9)
;
10)
;
11)
;
12)
;
13)
;
14)
;
15)
;
16)
;
17)
;
18)
;
19)
;
20)
;
21)
;
22)
;
23)
;
24)
;
25)
.