Потужність трифазного кола.

Потужність трифазного кола при з’єднанні зіркою. Активні і реактивні потужності в кожній з фаз трифазної системи можна знайти за формулами:

P_A = U_A I_A cos _A       P_B = U_B I_B cos _B       P_C = U_C I_C cos _C

Q_A = U_A I_A sin _A       Q_B = U_B I_B sin _B       Q_C = U_C I_C sin _C

Загальна потужність трифазної системи (активна і реактивна) визначається сумою потужностей окремих фаз: P = P_A + P_B + P_C; Q = Q_A + Q_B + Q_C.

При симетричному навантаженні: P_A = P_B = P_C = P_ф; Q_A = Q_B = Q_C = Q_ф; _A = _B = _C = . Тоді:

P = 3P_ф = 3 U_ф I_ф cos        

Q = 3Q_ф = 3 U_ф I_ф sin       

S =  3U_ф I_ф

Ці формули визначають потужність трифазної системи через фазні струми і напруги.

Іноді буває зручніше вираховувати потужність через лінійні величини струмів і напруг. Враховуючи, що при з’єднанні зіркою І_л = І_Ф і U_л =  U_Ф, отримаємо

P =  U_л I_л cos        

Q =  U_л I_л sin       

S = U_л I_л

Розрахунок трифазного кола. Трипровідна система із симетричним навантаженням.

При симетричному навантаженні фаз (Z_A = Z_B = Z_C = Z) розрахунок трифазного кола зводиться до розрахунку однофазного кола.

За заданим U_л визначають фазну напругу U_ф = U_л / , а потім за відомим опором навантаження Z визначають струм в проводах живлення I_л = I_ф = U_ф / Z. Зсув фаз між струмом і фазною напругою визначають за формулою cos  = R / Z. Потужність визначається за вище наведеними формулами. Векторна діаграма вже була побудована.

Приклад. До трифазної мережі з лінійною напругою U приєднаний двигун, обмотки якого з’єднані зіркою. Споживана потужність двигуна Р при cos . Визначити:

1. діюче значення споживаного струму І;

2. реактивну потужність Q, споживану двигуном;

3. миттєві значення струмів в кожній з фаз для різних моментів часу.

Розв’язання. Діюче значення струмів .

Реактивна потужність .

Миттєві значення струмів і_А, і_В, і_С:

а) для моменту часу, коли струм фази А досягає додатного максимуму

і_А = І_m = I_л ; i_B = I_m sin(–30) = I_л sin(–30); i_C = I_m sin(–150) = I_л sin(–150).

б) для моменту часу, коли струм фази А проходить через нуль

і_А = 0; i_B = I_m sin 60 = I_л sin 60; i_C = I_m sin(–60) = I_л sin(–60).

Чотирипровідна система при несиметричному навантаженні.

Струм для кожної фази:

Д ля визначення струму в нульовому проводі можна побудувати векторну діаграму, або використати для зображення електричних величин комплексні числа.

Приклад. U_л = 220 в; R_A = 10 Ом; R_В = 5 Ом; R_С = 7,5 Ом. Визначити:

1. лінійні струми І_А та І_В;

2. фазні напруги U_А та U_В,

якщо нульовий провід відсутній, а навантаження R_С відключене.

Р озрахунок:

При відключенні R_С навантаження R_A і R_В утворюють послідовне однофазне коло. Струм в опорі R_С дорівнює 0. Тоді І_А = І_В = U_АВ / (R_A + R_В) = 220 / (10 + 5) = 14,7 A.

U_А = І_А R_A = 14,710 = 147 [в]; U_В = І_В R_В = 14,75  73 В.

Отриманий результат показує, що фазні напруги U_А на опорі R_A підвищилась в порівнянні з номінальним режимом (коли U_Ф = U_л / = 220 / = 127 В) . Якщо б в фазу А були включені електричні лампи, розраховані на номінальну напругу 127 в, то при відсутності нульового проводу вони б знаходились під дією підвищеної напруги (147 в) і швидко б вийшли з ладу. Неприпустимо встановлення запобіжника в нульовому проводі.

Методика розрахунку з використанням комплексних чисел.

П ри значній нерівномірності навантаження окремих фаз і особливо при відсутності нульового проводу симетрія напруг у споживачів порушується. В таких випадках, коли розрахунок трифазної системи не можна звести до розрахунку кіл окремих фаз з однаковими за величиною напругами, використовують символічний метод. Розглянемо схему чотирипровідної системи з урахуванням опорів проводів:

Чотирипровідну систему можна розглядати як складне коло з двома вузлами О і О' і для розрахунку застосувати метод вузлових напруг.

Позначимо:

– фазні напруги на клемах генератора;

– фазні напруги на клемах навантажень;

– повні опори окремих фаз, включаючи опори лінійних проводів;

– повні провідності окремих фаз;

– опір нульового проводу;

– провідність нульового проводу.

Вважаємо, що вузловий потенціал в вузлі О дорівнює нулю. Тоді рівняння для вузла О', складене за методом вузлових напруг буде мати вид:

Вузлова напруга, тобто напруга між нульовою точкою навантаження О' і нульовою точкою генератора О, визначається за формулою:

Далі, за методом вузлових напруг визначаються струми в вітках, тобто струми в нульовому і лінійних проводах:

Напруги на опорах навантаження:

Нехтуючи опором лінійних проводів за попередніми формулами отримуємо співвідношення між фазними напругами генератора і навантаження:

Нагадуємо, що при симетричному навантаженні напруга U_N між нульовими точками генератора і навантаження дорівнює нулю, оскільки діючі напруги U_А, U_В, U_С на клемах навантаження однакові за величиною і зсунуті за фазою на третину періоду.

Приклад. В чотирипровідну мережу трифазного струму з лінійною напругою U_л = 220 В включені зіркою три групи ламп з опором R_А = 10 Ом, R_В = 5 Ом, R_С = 7,5 Ом. Визначити фактичні напруги на клемах ламп, що включені в фази А, В, С при обриві нульового проводу.

Розрахунок:

Оскільки опір лінійних проводів малий в порівнянні з опором ламп, можна вважати Z_A  R_А = 10 Ом, Z_B  R_В = 5 Ом, Z_С  R_С = 7,5 Ом.

Нехай вектор спрямований по дійсній осі. Тоді для фазних напруг джерела можна записати :

Провідність окремих фаз:

При відсутності нульового проводу .

Напруга між точками О і О':

Фазні напруги на клемах навантаження:

Н апруги U_A' і U_С' на менш завантажених фазах перевищують номінальну напругу ламп, тому лампи, включені в фази А і С, можуть швидко перегоріти.

Векторна діаграма матиме вид:

Вихідна точка О відповідає нульовій точці генератора, а кінці векторів – точкам А, В, С кола. Від точки О відкладаємо вектор , кінець якого О' відповідає нульовій точці О' навантаження. Відрізки, що з’єднують на діаграмі точку О' з кінцями векторів уявляють собою вектори напруг . Вектори зображують лінійні напруги кола.

При симетричному навантаженні точка О' співпадає на діаграмі з початком векторів О. При виникненні несиметрії навантаження точка О' зміщується відносно початку векторів О. Це явище має назву зміщення нейтралі.

Опір нульового проводу, як правило в багато разів менше опору навантаження будь–якої з фаз, тобто провідність нульового проводу y_N значно перевищує провідність окремих фаз y_А, y_В, y_С . Це значить, що при наявності нульового проводу величина зменшується в кілька разів, і фазні напруги в цих умовах утворюють трифазну систему, достатньо близьку до симетричної.