Дії над комплексними числами

Для «+» і «–» зручніше використовувати алгебраїчну форму: Z1  Z2 = a1 + jb1  a2 + jb2 = (a1  a2) + j(b1  b2)

Для «» і «:» зручніше використовувати показову форму: Z1  Z2 = |Z1| e j  |Z2| e j = |Z1||Z2| e j( + ); 

Z1 / Z2 = |Z1| e j / |Z2| e j = |Z1| / |Z2| e j( – ) ,

але можна і алгебраїчну:

Z1  Z2 = (a1 a2 – b1 b2) + j(a1 b2 + b1 a2); .

Два комплексних числа називаються спряженими, якщо відрізняються тільки знаками уявної частини (в алгебраїчній формі), або знаками аргументів (в показовій формі), наприклад:

a + jb та a – jb;

|Z| e j  та |Z| e –j .

Уявлення параметрів електричного змінного струму через комплексні числа

П овертаючись до електричних величин можна провести аналогію між векторами, що обертаються і комплексними векторами. Ця аналогія дозволяє синусоїдальні величини відображувати комплексними числами. Комплексні значення струмів, напруг і ЕРС прийнято позначати .

Згадаймо вже знайомі кола з активним опором, індуктивністю і ємністю:

Побудуємо для цих кіл векторні діаграми, але вже на комплексній площині, вважаючи, що розташування вектора величини з нульовою початковою фазою співпадає з дійсною додатною піввіссю.

В усіх випадках вектор напруги направлений по осі дійсних чисел. Тому комплекс напруги , де U – модуль комплексу напруги, а 0 – його початкова фаза. Комплекс струму:

• у першому випадку –

• у другому випадку –

• у третьому випадку –

Отже комплексне зображення синусоїдальних величин визначає її діюче (амплітудне) значення і зсув фаз відносно вихідної величини, початкова фаза якої вважається рівною нулю.

Аналіз кіл синусоїдального струму. Закони Кірхгофа

Розрахунок кіл синусоїдального змінного струму оснований на використанні законів Кірхгофа, які справедливі для миттєвих, амплітудних та діючих значень:

для миттєвих значень – суми алгебраїчні.

ці рівняння справедливі у векторній формі, тобто суми не алгебраїчні, а геометричні.

суми алгебраїчні завдяки зображенню електричних величин комплексними числами.

Розглянемо кола:

В обох випадках вектор струму направлений по осі дійсних чисел. Комплекс напруги на клемах кола :

• для випадку а) , де U_a і jU_L – дійсна і уявна частини; U і  – модуль і початкова фаза комплексу напруги.

• для випадку б) .

В загальному виразі комплексу напруги “+” перед уявною частиною свідчить, що навантаження має індуктивний характер, “–“ – характер навантаження ємкісний.

Р озглянемо електричне коло, що складається з трьох елементів:

, де , а аргумент .

 > 0, якщо U_L > U_C

 < 0, якщо U_L < U_C.

Опір і провідність в комплексній формі.

Розрізняють повний опір Z, реактивний опір X і активний опір R, а також відповідні їм провідності: повна провідність – y = 1/Z, реактивна провідність – b = X / Z² і активна провідність – g = R / Z².

З розглянутих трикутників напруг (наприклад, а) і б)) =

= . Це відношення є законом Ома. Величина – повний опір кола і позначається Z. . Тобто I = U / Z.

А ктивний, реактивний і повний опір пов’язані між собою як сторони трикутника.

Ці трикутники можна побудувати на комплексній площині і тоді опори можна виразити комплексними числами:

= R + jX = R + j(X_L – X_C), де .

Аналогічно визначаються провідності: .

При записі повної провідності в показовій формі:

модуль комплексу опору – ; аргумент – .