Скалярний добуток векторів

Скалярним добутком векторів і

називається число:	(16)
Або у векторній формі: де	(17)

Тоді косинус кута між векторами і визначають із виразу:

(18)

С калярний добуток двох векторів дорівнює добутку довжини одного вектора і проекції на нього другого вектора:

(19)

Р обота сили при прямолінійному переміщенні матеріальної точки з початку в кінець вектора дорівнює:

(20)

Властивості скалярного добутку.

1. Комутативна властивість множення: .

2. Асоціативна властивість відносно множення на число :

3. Дистрибутивна властивість відносно додавання векторів:

4. Якщо і то якщо кут гострий, і якщо кут тупий.

5. Скалярний добуток двох ненульових векторів дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли ці вектори перпендикулярні:

(21)

6. Скалярний квадрат вектора дорівнює квадрату його довжини:

(22)

Векторний добуток векторів

Векторним добутком вектора на вектор називається вектор , який задовольняє умови:

1) де ,

2)

3) якщо то вектори утво-рюють праву трійку векторів (рис.4).

Позначення:

Рис. 4.

Модуль векторного добутку неколінеарних векторів і дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах і , віднесених до спільного початку.

Якщо в прямокутній системі координат задано вектори: і , тоді їх векторний добуток дорівнює:

(23)

1. Момент сили , прикладеної в точці відносно точки дорівнює (рис.7):

(24)

2. Якщо по нескінченному прямолінійному провіднику тече струм (рис.6) із силою струму то напруженість магнітного поля, утвореного цим струмом у будь-якій точці простору, дорівнює:

,

(25)

де коефіцієнт пропорційності, вектор напрямленої відстані від прямоліній-ного провідника до точки

Мішаний добуток векторів

Мішаним добутком упорядкованої трійки векторів називається скалярний добуток вектора на вектор

(26)

Якщо вектори задано своїми координатами: , ,

то їх мішаний добуток дорівнює:

(27)

Об’єм паралелепіпеда, побудованого на векторах , віднесених до спільного початку (рис. 5, а), дорівнює модулю мішаного добутку цих векторів:

(28)

Об’єм піраміди, побудованої на векторах , які виходять із однієї вершини (рис. 5, б), дорівнює:

(29)

Вектори компланарні

(30)

а б

Рис. 5. Паралелепіпед і піраміда, побудовані на векторах ,