§4. Вектори в прямокутній системі координат. Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів.

Короткі теоретичні відомості.

Вектором називається напрямлений відрізок, який позначають:

Вектори, які лежать на одній або на паралельних прямих, називаються колінеарними. Вектори, які лежать у паралельних площинах або в одній площині, називаються компланарними.

Серед лінійних дій з векторами вирізняють: додавання векторів, віднімання векторів (рис.1), множення вектора на число.

Правило трикутника Правило паралелограма Різниця векторів

Рис.1. Правила додавання та віднімання векторів.

Добутком дійсного числа на вектор називається колінеарний вектор довжина якого дорівнює ;

напрям вектора збігається з напрямом вектора , якщо

вектори і – протилежно напрямлені, якщо

Вектори називають лінійно незалежними, якщо рівність є правильною за умови, що .

Два будь-які неколінеарні вектори – лінійно незалежні. Два будь-які некомпланарні (не лежать у одній площині) вектори – лінійно незалежні.

Базисом простору називається будь-яка упорядкована сукупність лінійно незалежних векторів, за допомогою яких лінійно виражається довільний вектор простору. Максимальне число лінійно незалежних векторів деякого простору називається розмірністю цього простору.

Якщо упорядкована трійка векторів є базисом простору то будь-який вектор можна лінійно виразити у вигляді:

(9)

Тоді числа координати вектора у базисі простору

Якщо базисні вектори є одиничними і попарно перпендикулярними, то такий базис називається ортонормованим. Базисні вектори ортонормованого базису називаються ортами і позначаються

У прямокутній декартовій системі координат, яка має ортонормо-ваний базис будь-який вектор можна лінійно виразити у вигляді (рис.2):

(10)

Тоді координати вектора у прямокутній декартовій систе-мі координат позначають:

Координати вектора , де

знаходять із виразу:

Модуль вектора дорівнює:

Рис. 2.

Нехай у просторі задано вісь (або вектор ) і вектор = (рис.3). Опустимо з точок і на вісь перпендикуляри і , тоді точки і є проекціями точок і на вісь .

Проекцією вектора на вісь (або на вектор ) називають додатне число якщо вектор і вісь однаково напрямлені, і від’ємне число якщо вектор і вісь протилежно напрямлені. Проекцію вектора на вісь позначають: Якщо то вважають, що

Кутом між вектором і віссю (або між векторами та ) називається менший із кутів, на який потрібно повернути один вектор або вісь, щоб він збігався за напрямком із другим вектором або віссю (рис.3):

Справедливі такі властивості проекцій:

1. Проекція вектора на вісь дорівнює добутку довжини вектора на косинус кута між вектором і віссю:

Рис. 3.

(11)

2. Проекція суми кількох векторів на дану вісь дорівнює сумі їхніх проекцій:

(12)

3. При множенні вектора на число його проекція також помножиться на це число:

(13)

Координати вектора в системі координат є проекціями цього вектора на осі координат (рис.2):

(14)

Напрям довільного вектора визначається кутами які утворює вектор із осями координат:

Косинуси цих кутів називаються напрямними косинусами вектора і обчислюються за формулами:

(15)

звідки: