4. Упорядочите перечисленные этапы построения экономико-математической модели:

1. Выявление структурных и функциональных элементов, их качественных характеристик.

2. Формулировка предмета и цели исследования.

3. Формализация описательной модели.

4. Расчеты по математической модели и анализ полученного решения.

5. Словесное описание взаимосвязей между элементами модели.

5. Установите соответствие между классом моделей и его определением:

Класс модели	Определение
1. Стохастическая	1. Описывает состояние объекта в конкретный момент времени
2. Детерминированная	2. Описывает развитие системы во времени
3. Статическая	3. Допускает наличие случайных воздействий
4. Динамическая	4. Служит для оценки параметров конкретного экономического объекта
5. Теоретическая	5. Служит для изучения общих свойств экономики
6. Прикладная	6. Предполагает наличие жестких функциональных связей между пере-менными

6. Установите соответствие между свойством потока требований и определением свойства:

Свойство потока	Определение
1. Стационарность	1. Независимость числа требований на непересекающихся участках
2. Отсутствие последствий	2. Однородность во времени
3. Ординарность	3. Приход требований поодиночке

7. Опишите множество состояний 4-канальной классической СМО с отказами:

8. Постройте граф состояний 4-канальной классической системы массового обслужи-вания с отказами:

9. Опишите множество состояний 2-канальной классической СМО с ожиданием, если максимальное число мест в очереди равно 2:

10. Постройте граф состояний 2-канальной классической системы массового обслужи-вания с ожиданием, если максимальное число мест в очереди равно 2:

Тренинг умений

Пример выполнения упражнения тренинга на умение № 1

Задание

На швейной фабрике на приобретение тканей выделен 1 млн руб. Необходимо купить ткани трех видов: ситец, штапель и шелк. Цена ситца – 50 руб. за метр, штапеля – 70 руб. за метр, шелка – 120 руб. за метр. Постройте границу бюджетного множества.

Решение

№ п/п	Алгоритм	Конкретное соответствие данной ситуации предложенному алгоритму
1	Определение вектора цен на товары	Вектор цен на ткани {50, 70, 120}
2	Определение дохода потребителя, который он готов потратить на данные товары	На приобретение тканей выделено 1000000 руб.
3	Составление границы бюджетного множества по формуле	50x1 + 70x2 + 120x3 = 1000000

Решите самостоятельно следующие задания:

Задание 1.1

В магазине продаются гвозди двух видов: 25 и 40 мм по цене, соответственно, 10 и 12 руб. за 1 кг. Покупатель хотел бы купить гвоздей на 20 руб. Постройте границу бюджетного множества.

Задание 1.2

Родительский комитет собрал 600 руб. на подарки учителям к Новому году. Было решено купить коробки конфет по 39 руб., сувениры по 50 руб. и открытки по 8 руб. Найдите границу бюджетного множества.

Задание 1.3

К возвращению жены из роддома молодому отцу надо купить кроватку, цена которой составляет 1500 руб., а также одеяльца, теплые и х/б пеленки. Одеяльце стоит 100 руб., теплая пеленка – 25 руб., а х/б – 15 руб. Постройте границу бюджетного множества, если на все покупки отец может потратить 3000 руб.

Задание 1.4

Мальчик на день рождения получил в подарок 120 руб. Какова граница его бюджетного множества, если на эти деньги он хотел бы купить жвачек по цене 3 руб., игрушечный пистолет за 60 руб. и пульки к нему по цене 5 руб. за пакетик, а также фотоальбом за 20 руб.?

Задание 1.5

Домохозяйка, планируя приготовление праздничных пирогов, предусматривает покупку молока, сахара, муки и яиц. Цена молока – 10 руб. за литр, сахара – 9 руб. за 1 кг, муки – 8 руб. за 1 кг, яйца – 13 руб. десяток. Для этой цели она может выделить не более 200 руб. Найдите границу бюджетного множества.

Пример выполнения упражнения тренинга на умение № 2

Задание

Сколько изюма и сколько орехов необходимо купить домохозяйке для праздничного пирога, если функция полезности u = x₁^1/3х₂^2/3, 1 кг изюма стоит 50 руб., 1 кг орехов – 40 руб., а на покупку выделено 30 руб.?

Решение

№ п/п	Алгоритм	Конкретное соответствие данной ситуации предложенному алгоритму
1	Определение границы G(P,Q) бюджетного мно-жества при известных ценах и доходе по формуле p1x1 + p2x2 = Q, где xk – количество k-го товара; pk – цена k-го товара; Q – величина дохода	Граница бюджетного множества 50x1 + 40x2 = 30
2	Составление условия равенства предельной нор-мы замещения отношению рыночных цен в точке спроса по формуле p1x1 – p2x2 = 0, где ,  - показатели степени функции полез-ности	Условие равенства предельной нормы замещения отношению рыночных цен в точке спроса 2/350 x1 – 1/340x2 = 0
3	Решение системы уравнений для определения координат точки спроса: p 1x1 + p2x2 = Q, p1x1 – p2x2 = 0	Решение системы уравнений: 5 0x1 + 40x2 = 30, 2/3  50 x1 – 1/3  40x2 = 0 Ответ: x1 = 0,2 кг (изюм); x2 = 0,5 кг (орехи)

Решите самостоятельно следующие задания:

Задание 2.1

Управляющий рестораном “Астория” готовит заказ на покупку помидоров и огурцов для овощного салата. Какое количество помидоров и огурцов он закажет, если функция полезности u = x₁^1/2х₂^1/2, цена помидоров – 40 руб. за 1 кг, огурцов – 24 руб. за 1 кг, а сумма, выделенная на закупку этих овощей, составляет 960 руб.?

Задание 2.2

Для уроков рисования необходимо купить бумагу в пачках по цене 45 руб. за пачку и альбомы для рисования по цене 9 руб. за альбом. Какова в этом случае будет точка спроса, если функция полезности выражается формулой u = x₁^3/4х₂^1/4 , а денег на покупку выделено 180 руб.?

Задание 2.3

Выиграв в лотерею 120 руб., молодой человек решил угостить своих друзей яблоками (х₁) и грушами (х₂). И яблоки, и груши продаются по цене 20 руб. за 1 кг. Сколько яблок и сколько груш он купит, если для него функция полезности этих фруктов имеет вид u = x₁^1/3х₂^2/3?

Задание 2.4

Для выполнения крупного заказа учреждению необходимо дополнительно приобрести сканеры и ксероксы. На эти приобретения учреждение может выделить 4800 у.е. Сколько сканеров (х₁) по цене 1200 у.е. за штуку и ксероксов (х₂) по цене 800 у.е. за штуку приобретет организация, если будет оптимизировать функцию полезности u = x₁^1/2х₂^1/2?

Задание 2.5

Для кружка юннатов школьники хотят приобрести морских свинок и хомячков. В зоомагазине морские свинки продаются по цене 70 руб. за одно животное, а хомячки – по 30 руб. На покупку зверьков школьники собрали 420 руб. Сколько морских свинок и сколько хомячков купят школьники, если функция полезности имеет вид u = x₁^1/2х₂^1/2?

Пример выполнения упражнения тренинга на умение № 3

Задание

Пусть доходы населения одной из областей в среднем на душу в год составляли 900 руб. и возросли до 1100 руб., а продажа обуви возросла с 3 до 3,2 пар в год. Исходя из этих данных определите эластичность спроса на обувь по доходу.

Решение

№ п/п	Алгоритм	Конкретное соответствие данной ситуации предложенному алгоритму
1	Определение прироста спроса (x) по фор-муле x = х – х1, где x – размеры спроса в базовом периоде; x1 – размеры спроса в следующей точке	По условию х = 3; х1 = 3,2; x = 3,2 – 3 = 0,2
2	Определение изменения дохода (q) по фор-муле q = q – q1, где q – размеры дохода в базовом периоде; q1 – размеры дохода в следующей точке	По условию q = 900; q1= 1100; q = 1100 – 900 = 200
3	Определение коэффициента эластичности спроса по доходу по формуле Eq = x/x : q/q	Коэффициент эластичности Eq = 0,2/3 : 200/900  0,067 : 0,22  0,30

Решите самостоятельно следующие задания:

Задание 3.1

Студенты со средним доходом в 700 руб. покупают в месяц 30 булочек. Каков коэффициент эластичности спроса студентов на булочки по доходу, если студенты с доходом в 500 руб. покупают в среднем 25 булочек в месяц?

Задание 3.2

Данные бюджетных обследований показали, что в семьях со среднедушевым доходом 1000 руб. на овощи в месяц в среднем расходуется по 80 руб. на человека, в семьях со среднедушевым доходом 1500 руб. в среднем расходуется 100 руб. Исходя из этих данных определите эластичность спроса на овощи по доходу.

Задание 3.3

Подрабатывая на почте и получая по 500 руб. в месяц, старшие школьники ходили в кино 2 раза в месяц. Каков коэффициент эластичности их спроса на зрелищные мероприятия от дохода, если, повысив свой доход до 550 руб., они стали посещать кино 3 раза в месяц?

Задание 3.4

Сотрудники одного учреждения при зарплате в 30000 руб. в год ездят на работу в основном на метро, совершая в среднем 500 поездок в год. При переходе на более высокооплачиваемые должности, получая 35000 руб. в год, сотрудники начинают пользоваться личным автомобилем и число их поездок на метро сокращается в среднем до 20 поездок в год. Какой коэффициент эластичности имеет спрос на поездки в метро в этом диапазоне значений доходов?

Задание 3.5

Определите коэффициент эластичности спроса от дохода, если увеличение дохода на 250 руб. с первоначального уровня в 600 руб. обеспечивает увеличение спроса с 10 до 12 единиц.

Пример выполнения упражнения тренинга на умение № 4

Задание

Снижение цен на картофель с 7 руб. за 1 кг в марте до 6 руб. за 1 кг в апреле в городе N при-вело к росту объема продаж картофеля с 10 т в марте до 12 т в апреле. Определите коэффициент эластичности спроса по цене.

Решение

№ п/п	Алгоритм	Конкретное соответствие данной ситуации предложенному алгоритму
1	Определение прироста спроса (x) по формуле x = х – х1, где x – размеры спроса в базовом периоде; x1 – размеры спроса в следующей точке	По условию х = 10; х1 = 12; x = 12 – 10 = 2
2	Определение изменения дохода (p) по фор-муле p = p – p1	По условию p = 7; p1= 6; p = 7 – 6 = 1
3	Определение коэффициента эластичности спроса по доходу по формуле Ep = x/x : p/p	Коэффициент эластичности Ep = 2/10 : 1/7  1,40

Решите самостоятельно следующие задания:

Задание 4.1

В двух торговых палатках продаются огурцы: в одной – по 20 руб. за 1 кг, в другой – по 25 руб. Определите коэффициент эластичности спроса на огурцы по цене, если, при прочих равных условиях, в первой палатке за день в среднем продается 120 кг, а во второй – 80 кг огурцов (за базовую принять первую палатку).

Задание 4.2

Падение на компьютерном рынке цен на компьютеры на 10 % привело к увеличению спроса на них на 15 %. Определите эластичность спроса на компьютеры по цене.

Задание 4.3

Для стимулирования спроса цены на сапоги были снижены на 20 %. Распродажа по сниженным ценам позволила увеличить спрос с 20 до 26 пар в день. Каков коэффициент эластич-ности спроса по цене?

Задание 4.4

Снижение цены мороженого с 6 руб. 50 коп. до 5 руб. привело к увеличению спроса на него на 40 %. Определите коэффициент эластичности спроса на мороженое.

Задание 4.5

Группа экспертов считает, что при падении цены на нефть с 25 до 19 долл. за баррель спрос на нее в одной из стран повысится со 180 до 200 млн т. Исходя из этого прогноза посчитайте коэффициент эластичности спроса на нефть по цене в этой стране.

Пример выполнения упражнения тренинга на умение № 5

Задание

Плодоовощная база должна в течение года ежедневно поставлять магазину картофель. Объем годового заказа – 60000 кг. Нарушение заказа недопустимо. Хранение 1 кг обходится овощной базе в 2,5 коп. в день. Заказ одной партии картофеля с фермы обходится базе в 100 руб. Опреде-лите оптимальный размер заказываемой партии картофеля.

Решение

№ п/п	Алгоритм	Конкретное соответствие данной ситуации предложенному алгоритму
1	Определение полного спроса R	По условию полный объем поставок карто-феля R = 60000 кг
2	Определение времени планирования T	По условию время договора T = 365 дней
3	Определение стоимости заказа Cs	По условию стоимость каждого заказа Cs = 100 руб.
4	Определение стоимости хранения одного изделия в единицу времени C1	По условию C1 = 0,025 руб.
5	Расчет оптимальной партии по формуле

Решите самостоятельно следующие задания:

Задание 5.1

Хлебопекарня поставляет булочки для сети ресторанов. Булочки отгружаются постоянно. Месячный объем поставок составляет 30000 булочек. Каков размер партии выпечки, если затраты на выпечку каждой партии составляют 20 руб., а убыль при хранении одной булочки в течение дня из-за потери потребительских свойств составляет 50 коп.?

Задание 5.2

Заводской цех, выпускающий запасные части для велосипедов, заключил договор на год о поставке запасных частей в мастерские города. Общий объем поставок 100000 деталей. Затраты на выпуск одной партии – 2500 руб., затраты на хранение каждой детали – 5 руб. в месяц. Определите размер оптимальной партии.

Задание 5.3

Поставщик соленых огурцов в бочках заключил договор с городской торговой организацией на поставку 1000 бочек огурцов в течение года. По условию договора отсутствие продукта недопустимо. Перевозка партии бочек из деревни в город обходится поставщику в 600 руб., а хранение в городе каждой бочки в арендованном помещении – в 10 руб. в неделю. Какими партиями поставщику следует перевозить огурцы, чтобы минимизировать свои расходы?

Задание 5.4

Фармацевтический склад круглосуточно обеспечивает дежурные аптеки лекарствами. В сутки поставляется 20000 упаковок. Какой должна быть оптимальная величина партии, привозимой на склад продукции, если затраты на ее доставку составляют 500 руб., а на хранение упаковки на складе с учетом специально создаваемых условий – 50 коп. в час?

Пример выполнения упражнения тренинга на умение № 6

Задание

Цех, выпускающий запасные части для станков, заключил договор на год о поставке запасных частей на заводы города. Общий объем поставок 100000 деталей. Затраты на выпуск одной партии – 2500 руб., затраты на хранение каждой детали – 5 руб. в месяц. Определите оптимальный интервал между выпусками партий.

Решение

№ п/п	Алгоритм	Конкретное соответствие данной ситуации предложенному алгоритму
1	Определение полного спроса R	По условию полный объем поставок запасных частей R = 100000 деталей
2	Определение времени планирования T	По условию время договора T = 1год = 12 месяцев
3	Определение стоимости заказа Cs	По условию стоимость каждого заказа Cs = 2500 руб.
4	Определение стоимости хранения од-ного изделия в единицу времени C1	По условию C1 = 5 руб. в месяц
5	Расчет оптимального интервала по формуле

Решите самостоятельно следующие задания:

Задание 6.1

Лавка зеленщика поставляет зелень для сети ресторанов. Месячный объем поставок составляет 30000 пучков. С каким интервалом надо пополнять запас зелени, если дополнительные затраты на приобретение каждой партии составляют 20 руб., а убытки при хранении одного пучка в течение дня из-за потери потребительских свойств – 50 коп.?

Задание 6.2

Пекарня должна в течение года ежедневно поставлять магазину хлеб. Объем годового заказа – 6000 батонов. Нарушение заказа недопустимо. Хранение одного батона обходится пекарне в 50 коп. в день. Стоимость выпечки каждой новой партии батонов обходится пекарне в 10 руб. Определите оптимальный интервал между выпечками.

Задание 6.3

Автозаправочная станция круглосуточно обеспечивает клиентов бензином. В сутки поставляется 2000 литров. Отсутствие бензина на станции недопустимо. Каким должен быть оптимальный интервал пополнения запасов бензина на станции, если затраты на доставку новой партии составляют 500 руб., а затраты на хранение литра бензина на складе – 5 коп. в час?

Задание 6.4

Поставщик соленых огурцов в бочках заключил договор с городской торговой организацией на поставку 1000 бочек огурцов в течение года. По условию договора отсутствие продукта недопустимо. Перевозка партии бочек из деревни в город обходится поставщику в 600 руб., а хранение в городе каждой бочки в арендованном помещении – в 10 руб. в неделю. В задании 5.3 мы узнали, какими оптимальными партиями перевозятся огурцы. Рассчитайте, как часто поставщику следует перевозить огурцы, чтобы минимизировать свои расходы.

Пример выполнения упражнения тренинга на умение № 7

Задание

Цех по выпуску электрических лампочек заключил договор на поставку их в торговую сеть. В год выпускается 40000 лампочек. В случае нарушения поставок цех теряет прибыль, его потери исчисляются 2 руб. в месяц за каждую лампочку. Хранение одной лампочки обходится в 0,5 руб. в месяц. Стоимость запуска в производство одной партии – 320 руб. Какова величина оптимальной партии выпуска?

Решение

№ п/п	Алгоритм	Конкретное соответствие данной ситуации предложенному алгоритму
1	Определение полного спроса R	По условию полный объем поставок электрических лампочек R = 40000шт.
2	Определение времени планирования T	По условию время договора T = 12 месяцев
3	Определение стоимости заказа Cs	По условию стоимость каждого заказа Cs = 320 руб.
4	Определение стоимости хранения од-ного изделия в единицу времени C1	По условию C1 = 0,5 руб. в месяц
5	Определение величины штрафа за не-хватку единицы продукции C2	По условию C2 = 2 руб. в месяц
6	Расчет оптимальной партии по фор-муле

Решите самостоятельно следующие задания:

Задание 7.1

Палатка, торгующая мороженым, продает в летние месяцы в среднем по 1200 шт. моро-женого. Убытки от отсутствия мороженого составляют 30 коп. в день. Стоимость хранения одного мороженого – 50 коп. в день. Затраты на пополнение запаса мороженого составляют 170 руб. Определите оптимальную партию пополнения запаса.

Задание 7.2

Киоск, торгующий справочной литературой, продает в месяц в среднем по 400 справочников. Какими партиями следует подвозить в киоск справочники, если затраты на подвоз партии составляют 100 руб., убытки от отсутствия справочников – 10 руб. в день, хранение в киоске одного справочника обходится в 5 коп. в день, заказ и доставка каждой новой партии – в 130 руб.?

Задание 7.3

Кафе быстрого обслуживания на вокзале работает круглосуточно, продавая по 900 горячих завтраков в день. При отсутствии завтраков кафе теряет 15 руб. за каждый завтрак в час из-за обращения пассажиров в другие точки питания. Хранение одного завтрака обходится в 40 коп. в час. Какими партиями следует подвозить завтраки, если доставка одной партии обходится в 75 руб.?

Задание 7.4

Карандашная фабрика выпускает 280000 наборов цветных карандашей в год. Какими партиями следует выпускать наборы карандашей, если затраты на организацию запуска партии составляют 250 руб., штраф за отсутствие продукции – 10 коп. за набор в день, стоимость хранения одного набора – 2 коп. в день?

Пример выполнения упражнения тренинга на умение № 8

Задание

Касса предварительной продажи билетов на авиарейсы работает с 8 утра до 20 часов вечера. Каждый час в кассу обращаются в среднем 9 человек. За час касса могла бы обслуживать по 12 человек. Определите интенсивность нагрузки авиакассы.

Решение

№ п/п	Алгоритм	Конкретное соответствие данной ситуации предложенному алгоритму
1	Определение интенсивности потока требований 	По условию  = 9 (в час)
2	Определение интенсивности обслуживания 	По условию  = 12 (в час)
3	Расчет интенсивности нагрузки системы по формуле	 = 9/12 = 0,75

Решите самостоятельно следующие задания:

Задание 8.1

К причалу для разгрузки регулярно подходят грузовые корабли. Определите интенсивность нагрузки на причал, если в течение часа к причалу подходят в среднем 6 кораблей, а обслужить причал может 8 кораблей в час.

Задание 8.2

Эскалатором в часы пик в среднем хотят воспользоваться 65 человек в минуту. Какова интен-сивность нагрузки на эскалатор в часы пик, если в минуту он может перевезти 70 человек?

Задание 8.3

К портному ежемесячно обращаются в среднем 6 человек, желающих сшить костюмы. Он может сшить 7 костюмов за месяц. Определите интенсивность нагрузки портного в предполо-жении, что каждый обратившийся желает сшить только один костюм.

Задание 8.4

В автосервис в среднем ежедневно обращаются 13 человек. Какова интенсивность нагрузки автосервиса, если он рассчитан на обслуживание 20 клиентов в день?

Пример выполнения упражнения тренинга на умение № 9

Задание

Булочная рассчитана на обслуживание 25 человек в час. В среднем булочную посещают 20 че-ловек в час. Сколько человек в среднем находится в булочной?

Решение

№ п/п	Алгоритм	Конкретное соответствие данной ситуации предложенному алгоритму
1	Определение интенсивности потока требований 	По условию  = 20 (в час)
2	Определение интенсивности обслуживания 	По условию  = 25 (в час)
3	Расчет среднего числа требований в системе по формуле	 = 20/(25 – 20) = 4

Решите самостоятельно следующие задания:

Задание 9.1

Парикмахерская может обслужить 10 человек в час. Сколько человек в среднем находятся в парикмахерской, если сюда приходят около 8 человек в час?

Задание 9.2

Таможня в течение часа может пропустить 15 грузовиков. Сколько грузовиков в среднем находятся на таможне, если в час сюда для таможенного досмотра приезжают в среднем 12 гру-зовиков.

Задание 9.3

К брокеру на бирже от его клиентов поступают торговые заявки на совершение сделок. Брокер может исполнить 20 заявок в час. В среднем к нему поступает одна заявка каждые пять минут. Определите среднее число заявок, находящихся у брокера.

Задание 9.4

Муниципальные власти для очередников района выделяют в среднем 85 квартир в год. Сколько семей в среднем стоит в очереди на получение муниципального жилья в районе, если каждый месяц на учет встают 7 семей?

Пример выполнения упражнения тренинга на умение № 10

Задание

Магазин может обслуживать 50 человек в час. В среднем магазин посещают 45 человек в час. Каково среднее время пребывания покупателя в магазине?

Решение

№ п/п	Алгоритм	Конкретное соответствие данной ситуации предложенному алгоритму
1	Определение интенсивности потока требований 	По условию  = 45 (в час)
2	Определение интенсивности обслуживания 	По условию  = 50 (в час)
3	Расчет среднего времени пребывания требования в системе по формуле	 = 1/(50 – 45) = 0,2 (часа)

Решите самостоятельно следующие задания:

Задание 10.1

Врач-стоматолог может принять 7 человек в час. Сколько времени, с учетом возможной очереди, в среднем уходит на посещение стоматологического кабинета, если в среднем к врачу приходят 5 пациентов в час?

Задание 10.2

Междугородняя телефонная станция может соединять 6 абонентов в минуту. Ежеминутно сюда обращаются в среднем 4 человека. Сколько времени в среднем до начала разговора проводит на станции абонент?

Задание 10.3

Кафе быстрого обслуживания может обслуживать 15 человек в час. Сколько времени на посещение кафе затрачивает посетитель, если среднее число желающих посетить кафе – 12 чело-век в час?

Задание 10.4

Воспользовавшись условием задания 9.4, вычислите, сколько времени ожидает гипотетический очередник района получения муниципального жилья. Напомним, что ежемесячно в очередь встает 7 семей, а число выделяемых квартир – 85 в год.