6.2 Определение характеристик стационарного случайного процесса
Важнейшими характеристиками стационарного случайного процесса являются математи-ческое ожидание и дисперсия.
Рассмотрим задачу, в которой метод статистических испытаний используется для определе-ния математического ожидания.
Задача. Некоторое тело с равной вероятностью перемещается на единичное расстояние либо вправо, либо влево, либо вверх, либо вниз. Требуется оценить математическое ожидание МХ расстояния тела от начального положения после k перемещений (расстояние от начального положения – величина случайная в силу случайности перемещений; обозначим его Х).
Предположим, что в начальном положении тело имеет координаты х = 0 и у = 0. Будем одно перемещение имитировать двукратным подбрасыванием монеты. Условимся, что появление двух “гербов” означает движение тела вправо, что, в свою очередь, приводит к увеличению ее абсциссы х на единицу. Появление двух “решек” означает движение влево и, следовательно, абсциссы х частицы надо уменьшить на единицу. Появление при первом подбрасывании монеты “герба”, а при втором – “решки” означает движение тела вверх, что приводит к увеличению его ординаты у на единицу. При появлении же сначала “решки”, а затем “герба” тело “движется” вниз и его ордината у уменьшается на единицу. Вероятности исходов, возможных при двукратном подбрасывании монеты, так же как и вероятности движения тела по любому из четырех направлений, равны 1/4.
Имитировать
k
перемещений
будем подбрасыванием монеты 2k
раз. При этом после каждых двух
подбрасываний либо абсциссу х
пересчитаем, либо ординату у
тела.
Смещение тела относительно начального
положения после k
перемещений равно
Случайное испытание, состоящее в подбрасывании монеты 2k раз, повторим достаточно большое число n раз. Результатом i-го испытания (i = 1, 2, …, n) является “смещение” тела, равное Хi. Вычислим среднее арифметическое этих смещений и примем его за приближенное значение математического ожидания МХ, т.е.
Напомним, что при соблюдении достаточно общих требований (испытания должны быть независимыми и приводиться в одинаковых условиях), средняя
при достаточно большом числе испытаний является хорошим приближением математического ожидания МХ.
6.3 Оценка точности характеристик
Точность характеристик, вычисленных методом Монте-Карло, будет тем выше, чем большее число испытаний будет проведено. Для оценки точности вводится величина погрешности . Для определения связи между числом испытаний и точности оценки математического ожидания и вероятности p используется неравенство Чебышева, которое является одним из фундаментальных соотношений математической статистики.
Неравенство Чебышева вводится через лемму Чебышева: если случайная величина Х имеет конечное математическое ожидание и дисперсию DX, то для любого положительного справедливо неравенство Чебышева
Разновидности этого неравенства используются для оценки точности вычисления математического ожидания, дисперсии и вероятности. Как мы увидим ниже, величина погрешности обратно пропорциональна корню из числа испытаний n.