5.4 Постановка задач для многоканальной системы массового обслуживания

Рассмотрим n-канальную разомкнутую СМО с отрезками, на вход которой подается простейший поток заявок с интенсивностью (рисунок 17).

Рисунок 17. Разомкнутая СМО, имеющая n каналов

На выходе такой системы в стационарном режиме имеем:

- поток обслуженных заявок с интенсивностью ₀;

- поток необслуженных заявок с интенсивностью _н.

При этом будет выполняться равенство, которое называется “уравнением расхода” для разомкнутой системы:

 = ₀ + _н.

Разделим обе части равенства на величину :

.

Отношение есть вероятность обслуживания (Р_обс) заявки, поступившей на вход такой системы:

.

Вероятность необслуживания (Р_н) заявки

.

Иногда интенсивность потока обслуженных заявок ₀ называют абсолютной пропускной способностью системы, а вероятность обслуживания заявки – относительной пропускной способностью системы.

Следующей важной характеристикой разомкнутой системы, находящейся в стационарном режиме, является среднее число занятых каналов . Для системы без “взаимопомощи” между каналами, когда заявка может обслуживаться только одним каналом, интенсивность потока обслуженных заявок определяется формулой ₀ =  .

Рассмотрим классическую систему массового обслуживания с отказом.

Систему массового обслуживания будем называть системой с отказами (потерями), если заявка, пришедшая в момент, когда все каналы заняты, немедленно получает отказ и покидает систему.

При наличии свободных каналов могут рассматриваться различные алгоритмы распределения заявок по каналам: строгое (неслучайное) распределение заявок по свободным каналам или же случайное (хаотическое) распределение заявок по каналам. Кроме того, могут быть случаи, когда заявка, принятая к обслуживанию, по тем или иным причинам не дождавшаяся конца обслуживания, покидает систему, т.е. остается необслуженной. Общим для всех этих систем является то обстоятельство, что заявка получает отказ, если все каналы заняты.

Постановка задачи. На вход n-канальной системы массового обслуживания поступает простейший поток заявок с интенсивностью . Интенсивность простейшего потока обслуживания каждого канала . Если заявка застала все n каналов занятыми, то она получает отказ. Если заявка застала свободным хотя бы один канал, то она принимается к обслуживанию любым из свободных каналов и обслуживается до конца (рисунок 18).

Рисунок 18. Граф состояний с отказами

Эта система названа классической потому, что с изучения такой системы А.К. Эрланг начал разрабатывать теорию массового обслуживания. Он рассмотрел функционирование такой системы на примере работы автоматического телефонного узла связи. В этом случае поток заявок представляет собой поток вызовов со стороны абонентов.

Длительность обслуживания характеризуется длительностью коммутации и длительностью разговора. Число каналов n равняется максимально возможному числу одновременно осуще-ствляемых разговоров.

Анализ работы любой СМО начинается с рассмотрения возможных состояний системы с указанием интенсивностей потоков, переводящих систему из состояния в состояние.

Рассмотрим следующее множество состояний системы:

х₀ – все каналы свободны, ни одна заявка не обслуживается;

х₁ – занят ровно один канал (какой – неважно), обслуживается одна заявка;

……………………………………………………..

х_k – занято ровно k каналов (каких именно – неважно), обслуживается k заявок;

…………………………………………………….

х_n – все n каналов заняты, обслуживаются n заявок.

Возможность перескока “через состояния” не рассматривается, так как все потоки ординарны. Рассмотрим порядок определения интенсивностей потоков событий. Когда система находится в состоянии х₀, на нее действует поток заявок с интенсивностью, переводящий систему в состояние х₁. Если система находится в состоянии х₁, то на нее действуют уже два потока событий:

- поток заявок с интенсивностью , который стремится перевести систему в состояние х₂;

- поток освобождений канала (“поток обслуживаний”), который стремится перевести систему в состояние х₀. Интенсивность этого потока равна .

Рассмотрим случай, когда система находится в состоянии х_k (k = 1, 2, n-1). В этом случае на систему действуют опять два потока:

- поток заявок с интенсивностью , который стремится перевести систему слева направо, т.е. в состояние х_k+1;

- поток освобождений всех k занятых каналов с интенсивностью k, который стремится перевести систему справа налево в состояние х_k-1.

Если система находится в состоянии х_n, то на нее действует только один поток событий с плотностью n, переводящий систему справа налево в состояние х_n-1.

Теперь рассмотрим СМО с ожиданием, в которых заявка, заставшая все каналы занятыми, не получает немедленного отказа, а может стать в очередь и ждать освобождения канала, который может ее обслужить.

Системы с ожиданием бывают “чистого” и “смешанного” типа. В чистой системе с ожиданием число мест в очереди и время ожидания в ней ничем не ограничены: каждая заявка рано или поздно будет обслужена. Для такой системы понятие “отказ” не имеет смысла.

В системе с ожиданием смешанного типа возможны как отказы, так и ожидание заявки в очереди. Отказы (отсутствие обслуживания) могут быть связаны или с ограниченным числом мест в очереди, или с ограниченным временем ожидания, которыми располагает заявка.

При рассмотрении СМО с ожиданием необходимо учитывать систему правил, регламенти-рующих порядок образования и обслуживания очереди (так называемую “дисциплину очереди”). Необходимо указать, является ли очередь общей или образуется к каждому каналу отдельно, каков порядок вызовов заявок из очереди и т.п.

Будем называть порядок вызовов заявок из очереди естественным, если заявки обслуживают по принципу “кто раньше стал в очередь, тот и раньше обслуживается”. Можно рассмотреть обслуживание с приоритетом, когда определенного вида заявки обслуживаются в первую очередь. Могут рассматриваться и такие случаи, когда заявка вызывается из очереди на обслуживание в случайном порядке. Поведение заявок в очереди также входит в понятие “дисциплины очереди”.

Постановка задачи. На вход n-канальной системы массового обслуживания поступает простейший поток заявок с интенсивность . Интенсивность обслуживания каждого канала . Если вновь поступившая заявка застанет свободным хотя бы один канал, она принимается на обслуживание до конца (заявки “терпеливые”). Если заявка застает все каналы занятыми, то она становится в очередь и “терпеливо” ждет своего обслуживания.

Дисциплина очереди: кто раньше пришел, тот раньше и обслуживается; максимальное число мест в очереди m. Если заявка застанет все m мест в очереди занятыми, то она получает отказ и исключается из обслуживания. Каждая заявка может обслуживаться только одним каналом (взаимопомощи между каналами нет). Величины n,  , m будем называть параметрами СМО с ожиданием.

Состояния системы будут нумероваться по числу заявок, находящихся в системе:

х₀ – все каналы свободны:

х₁ – занят один канал, обслуживается одна заявка;

………………….

х_k – занято k каналов, обслуживается k заявок, в системе k заявок;

………………….

х_n – заняты все n каналов, в системе n заявок, потоки обслуживаются;

х_n+1 – заняты все n каналов, n заявок обслуживается, одна заявка стоит в очереди;

х_n+2 – заняты все n каналов, n заявок обслуживается, две заявки стоят в очереди;

х_n+m – заняты все n каналов, n заявок обслуживается, m заявок стоят в очереди.

Рассмотрим систему, которая имеет n + m + 1 состояний. Изобразим график состояний этой системы (рисунок 19).

Рисунок 19. График состояний системы, имеющий n + m + 1 состояний

По стрелкам слева направо систему переводит всегда один и тот же поток заявок с интенсивностью ; по стрелкам справа налево систему переводит поток обслуживаний, интенсивность которого равна , умноженному на число занятых каналов.

При проектировании многоканальной СМО с ожиданием возникает задача выбора оптимального числа каналов обслуживания. Задача выбора оптимального числа каналов обслуживания – выбор такого числа каналов обслуживания, при котором сумма от ущерба нахождения заявок в очереди и простоя каналов обслуживания будет минимальной.