5.3 Решение задач для одноканальной системы массового обслуживания

При решении задач для одноканальной системы массового обслуживания имеют в виду следующий процесс: система обслуживания имеет один канал, время обслуживания распределено по показательному закону с параметром , интенсивность поступающего потока равна . Требования обслуживаются по очереди в порядке поступления в систему.

Интенсивность потока требований является важнейшим параметром СМО. Интенсивность потока требований  – характеристика потока требований, которая показывает среднее количество требований, поступающих в единицу времени.

Обслуживание поступившей заявки продолжается некоторое время, после чего канал освобождается и готов к приему следующей заявки. Каждая заявка обслуживается независимо от других; случайное время Т распределено по показательному закону с параметром . На выходе СМО будет появляться поток обслуженных заявок, при этом интервалы времени между ними (Т₁, Т₂, Т₃, …) будут независимы и распределены одинаково по показательному закону с пара-метром , т.е. поток обслуженных заявок будет простейшим с интенсивностью  (рисунок 16).

Очередь к началу обслуживания

Канал обслуживания

Обслуживание заявки

Рисунок 16. Одноканальная система массового обслуживания

В общем случае параметр потока обслуживаний может зависеть от времени (t). Это эквивалентно тому, что на выходе занятого канала будет не простейший поток обслуженных заявок, а пуассоновский поток с интенсивностью (t).

Можно представить себе, что обслуживание происходит так, как будто на заявку, поступившую в канал, направляется поток обслуживаний с интенсивностью . Факт обслужива-ния имеет место, как только в этом потоке обслуживаний наступает первое событие. Такая постановка задачи очень удобна в методическом отношении, особенно, если поток обслуживаний пуассоновский.

В дальнейшем будем без специальных оговорок предполагать, что интенсивность обслуживаний каждого канала является простейшей с интенсивностью . Интенсивность обычно определяется через среднее время обслуживания одним каналом одной заявки t:

^.

Таким образом, интенсивность обслуживания  – характеристика канала обслуживания, равная среднему количеству требований, которые могут быть обслужены в единицу времени.

Результаты решения задач для одноканальной СМО могут быть разбиты на две группы.

1. Характеристики, связанные с состоянием системы. К ним относятся, например, число требований, находящихся в системе в момент времени t, число требований в накопителе в этот же момент. Этим характеристикам соответствуют различные вероятности, например, вероятность того, что в системе в момент t имеется определенное число требований; вероятность того, что в тот же момент в очереди имеется больше, чем определенное число требований и т.д.

2. Характеристики, для определения которых не требуется знать состояние системы, например время ожидания требований в очереди, время пребывания требования в системе. В качестве примеров назовем некоторые вероятности, соответствующие этим характеристикам: вероятность того, что время ожидания в очереди для требования, поступившего в момент времени t, больше некоторой величины; вероятность того, что время пребывания некоторого требования в системе будет больше времени пребывания следующего требования и т.п.

Отмеченным двум категориям характеристик соответствуют два метода анализа. Первый состоит в выводе дифференциальных уравнений вероятностей состояний и называется дифференциальным методом; второй приводит к составлению интегральных уравнений, дающих некоторые числовые характеристики, и называется интегральным методом.

Для общей характеристики работы СМО могут вычисляться средние показатели ее функционирования: интенсивность нагрузки системы; для СМО с ожиданием – среднее число требований, находящихся в системе; среднее время пребывания заявки с системе.

Интенсивность нагрузки системы  – характеристика СМО, которая рассчитывается по формуле  = / и представляет собой долю времени занятости канала обслуживанием требо-ваний.

Среднее число требований, находящихся в системе  – показатель эффективности функционирования системы. Определяется по формуле

Среднее время пребывания заявки в системе – показатель эффективности функциони-рования системы. Определяется по формуле

Напомним, что для системы с очередью время пребывания заявки в системе складывается из времени ожидания и времени обслуживания.

При оптимизационном подходе к проектированию канала СМО задается функция стоимости, в которую входят ущерб от нахождения заявок в очереди и затраты на создание и содержание канала обслуживания. Эта функция должна быть оптимизирована. Таким образом, возникает задача выбора оптимальной пропускной способности канала обслуживания, которая состоит в выборе такой пропускной способности канала обслуживания, при которой сумма ущерба от нахождения заявок в очереди и затраты на создание и содержание канала обслуживания будут минимальными.