4.3 Статическая детерминированная модель с дефицитом

Рассмотрим случай, который отличается от предыдущего только тем, что превышение спроса над запасами допускается, т.е. штраф за дефицит конечный.

Дефицит ресурса – термин, означающий, что при отсутствии запасаемого продукта спрос сохраняется с той же интенсивностью, потребляется запас, создание или хранение которого требует больших затрат. Эта разница в затратах составляет штраф за дефицит. Штраф за дефицит может также быть связан с тем, что клиент временно уходит к другому поставщику, а мы недополучаем прибыль от реализации продукции.

Такая модель носит название статической детерминированной модели с дефицитом. Статическая детерминированная модель с дефицитом – задача управления запасами, которая сводится к отысканию такого оптимального объема партии и уровня запаса, при которых суммарные затраты на хранение, доставку и уплату штрафа за дефицит были бы минимальными. Будем называть ее модель II.

Рассматриваемая ситуация изображена на рисунке 10. В начале каждого интервала имеется уровень запасов. Из подобия треугольников находим:

Рисунок 10. График запасов (модель II)

Средний запас в течение t₁ равен S/2. Поэтому затраты на хранение за все время t₁ составляют Средняя нехватка (превышение спроса над уровнем запасов) за время t₂ равна (n-S)/2, и штраф за время t₂ составляет

Таким образом, ожидаемые суммарные расходы за все время Т определяются выражением

Подставляя сюда найденные выше выражения для t₁ и t₂ и учитывая полученное в предыдущем разделе выражение для t_s, имеем:

(5)

Из уравнения (5) можно найти оптимальные значения для n и S. Получаем:

(6)

(7)

Этим значениям соответствуют:

(8)

(9)

При сравнении результатов, полученных для моделей I и II, можно заметить, что, во-первых, уравнения (2), (3) и (4) можно получить из уравнений (6), (8), (9), если в них устремить С₂ к бесконечности. Этот результат нельзя считать неожиданным, так как модель I есть частный случай модели II.

Во-вторых, если С₂  , то

.

Следовательно, ожидаемые суммарные расходы в модели II меньше, чем в модели I.

Пример 2. Пусть сохраняются все условия примера 1, но только штраф С₂ за нехватку теперь равен 0,2 долл. за одно изделие в месяц. Из уравнений (6) – (9) получаем:

единиц,

единиц,

месяца = 9,9 недели,

долл.

При оптимальной стратегии ожидаемый дефицит к концу каждого периода составлял бы 4578 – 3056 = 1522 изделия.

4.4 Стохастические модели управления запасами

Теперь представим себе ситуацию, когда спрос уже не является заданной функцией времени. Такая ситуация естественна в большинстве случаев, при этом описывать спрос принято при помощи некоторого случайного процесса. Однако общее определение случайного процесса, во-первых, слишком сложно и громоздко для практических приложений и, во-вторых, требует слишком большой информации, когда дело доходит до численных расчетов. Поэтому в теории управления запасами выделяют отдельные специальные классы случайных процессов, имеющих несложную структуру. Рассмотрим некоторые их них.

Во многих реальных системах моменты возникновения спроса нельзя предсказать. Таким свойством обладают, например, поступления запасных изделий на склад, обслуживающий большую группу потребителей, которые обращаются на склад по мере необходимости, независимо друг от друга. Процесс поступления требований на склад в этом случае удается эффективно описать, если сделать предположение о том, что промежутки времени между поступлением требований являются одинаково распределенными случайными величинами. При случайном спросе, а также при случайном времени выполнения заказа в качестве критерия для оценки различных вариантов объема партии и максимального уровня запаса используют математическое ожидание в единицу времени. Заметим, что при случайном спросе на продукт, хранящийся на складе, мы уже не знаем заранее, какое количество продукта будет потребовано за период между моментом заказа и моментом поставки заказанного продукта, что, вообще говоря, приводит к необходимости держать на складе больший запас, чем при детерминированном спросе. При случайном спросе склад необходим даже в случае нулевых затрат на сам факт совершения заказа, что принципиально отличается от случая детерминированного спроса.

Решение задачи о выборе оптимальных значений величин n и Q удается провести аналитическим путем только в случае достаточно простых распределений случайных величин, используемых в модели исследуемой системы хранения запаса. Если же распределения сложны, параметры распределений меняются во времени или исследуемая система состоит из нескольких связанных между собой складов, в которых одновременно хранятся, быть может, продукты разного типа, то единственным средством исследования такой системы пока остаются имитационные эксперименты.