Моделирование процесса функционирования централизованной заправочной системы.

Выше указывалось, что процесс заправки ЛА через централизованную заправочную систему представляет собой последовательное изменение числа подготавливаемых к заправке, находящих одновременно под заправкой ЛА и аппаратов, на которых проводятся после заправочные операции, и что система обслуживания ЛА через ЦЗС может быть отнесена к системе массового обслуживания разомкнутого типа с неограниченным ожиданием.

Определение параметров, характеризующих процесс обслуживания ЛА в этом случае, осуществляется путем исследования n – канальной системы массового обслуживания, на вход которой поступает простейший поток заявок с интенсивностью формула и интенсивностью обслуживания каждого канала формула: если поступившая заявка застанет свободным хотя бы один канал, она немедленно принимается за обслуживание и обслуживается до конца, в противном случае заявка попадает в очередь с количеством мест в очереди m. Очевидно, что m=0 получается система массового обслуживания с отказами, а при формула – система с ожиданием. Каждая заявка может обслуживаться либо одним каналом – нет взаимопомощи между каналами – либо несколькими свободными каналами – есть взаимопомощь между каналами.

Для случая, когда отсутствует взаимопомощь между каналами обслуживания, состояние системы массового обслуживания разомкнутого типа описывается с помощью системы дифференциальных уравнений

(1)

где - вероятность, что в момент времени t система будет находиться в состоянии - в системе k заявок, и они обслуживаются k каналами, очереди нет; - в системе имеется n+l заявок, причем n из них обслуживается и l заявок находится в очереди.

Интегрирование этой системы дифференциальных уравнений совместно с нормировочным условием (2)

позволяет найти все вероятные состояния системы массового обслуживания в произвольный момент времени в процессе выхода системы на стационарный режим, т.е. в процессе постановки ЛА на работу.

При стационарном режиме работы рассматриваемой системы массового обслуживания системы уравнений (1) превращается в систему алгебраических уравнений вида:

(3)

Которая решается совместно с нормировочным условием (2) и дает следующие зависимости для определения вероятностей нахождением системы в состояниях формула.

Здесь – среднее число заявок, поступающих в рассматриваемую систему за среднее время обслуживания одной заявки одним каналом.

Зная вероятные состояния системы в любой момент времени, легко определить все параметры, характеризующие работу системы массового обслуживания.

Так, вероятность обслуживания определяется вероятностью того, что к моменту поступления ее на обслуживание, будет свободен хотя бы один канал или одно место в очереди:

Где – определяется по формуле (5).

Далее может быть определено среднее число занятых каналов:

Вероятность занятости любого канала в произвольный момент времени определяется по формуле:

Где n-количество каналов обслуживания; – среднее число заявок, поступавших в систему за среднее время обслуживания всеми каналами.

Вероятность того, что система полностью загружена, равна вероятности того, что в системе заняты все каналы:

Среднее время неполной загрузки определяется из выражения

Где – - среднее время полной загрузки системы.

Среднее число заявок, находящихся в очереди равно

Среднее время ожидания заявок в очереди

Среднее время нахождения заявки в системе складывается из средних времен ожидания и обслуживания, т.е.

Таким образом, определены основные параметры, характеризующие качество работы централизованной системы заправки при отсутствии взаимопомощи между каналами обслуживания.

В том случае, когда существует взаимопомощь между каналами обслуживания, состояние системы массового обслуживания описывается с помощью системы дифференциальных уравнений вида:

В стационарном состоянии, которая превращается в системы алгебраических уравнений:

Параметры, характеризующие работу такой системы массового обслуживания, определяются выражениями аналогичными (6-13), в которых вероятности нахождения системы в состояниях находятся путем интегрирования системы уравнений (14). Cсовместно с нормировочным условием (12) для случая постановки ЛА на дежурство и путем решения системы уравнений (1) и (2) для стационарного режима работы централизованной заправочной системы с взаимопомощью между агрегатами обслуживания. В частности, для стационарного режима работы вероятность пребывания системы в j-ом состоянии ( j = 0,1,2,3 . . .,k, . . .,n, . . .,n+l, . . ., n+m)находится из выражения:

Где – - среднее число заявок, поступающих в систему за среднее время обслуживания всеми каналами.