Волны в упругой среде. Продольные и поперечные волны. Скорость волны. Длина волны и волновое число. Уравнение бегущей волны.
Если
в каком-либо месте упругой среды (твердой,
жидкой или газообразной) возбудить
колебания ее частиц, то вследствие
взаимодействия между частицами это
колебание будет распространяться в
среде от частицы к частице с некоторой
скоростью. Процесс
распространения колебаний в пространстве
называется волной. Геометрическое место
точек, до которых доходят колебания к
моменту времени t называется
фронтом волны (волновым фронтом). В
зависимости от формы фронта волна может
быть сферической, плоской и др.
^ Волна
называется продольной,
если направление смещения частиц среды
совпадает с направлением распространения
волны.
Продольная
волна распространяется в твердых, жидких
и газообразных средах.
^ Волна
называется поперечной,
если смещение частиц среды перпендикулярно
направлению распространения волны.
Поперечная механическая волна
распространяется только в твердых телах
(в средах обладающих сопротивлением
сдвигу, поэтому в жидкостях и газах
такая волна распространиться не
может).
Волновое
уравнение и его решение.
Уравнение,
позволяющее определить смещение (
х,t)
любой точки среды с координатой х в
любой момент времени t называется
уравнением волны.
Например,
уравнение плоской волны, т.е. волны,
распространяющейся в одном направлении,
например в направлении оси х, имеет
вид
(28-1)
,
где
(х,t)
– смещение точек через время t, за которое
волна распространяется на расстояние
х = 
t
(
-
скорость распространения волны).
Расстояние
, 
на
которое распространяется волна за
время, равное периоду колебаний частиц
среды, называется длиной волны
Введем
величину 
,
которая называется волновым
числом.
Е
Вектор 
показывает
направление распространения волны в
данной точке волнового фронта
(рис.28.1).
Перепишем выражение
(28-1) в виде
.
Преобразуем
отношение 
.
Тогда уравнение
волны запишется
в виде
.
(28-2)
сли
умножить волновое число на единичный
вектор направления распространения
волны 
,
то получится вектор, называемый волновым
вектором 
Уравнение
любой волны является решением
дифференциального уравнения,
называемого волновым
уравнением
С
помощью оператора Лапласа 
(лапласиана)
это уравнение можно записать более
кратко
В
случае плоской волны волновое
уравнение
(Решением
этого уравнения является уравнение
волны (28-1), (28-2).)
Энергия волны. Поток энергии, его плотность. Вектор Умова. Энергия волны
При распространении волны в пространстве от какого-либо источника происходит и распространение энергии; частицы среды, вовлекаемые в колебательное движение, получают энергию от волны. Проследим, как энергия от источника распространяется в пространстве.
Предположим, что наш источник - плоская металлическая мембрана, колеблющаяся с определённой частотой. Колебаться мембрану заставляет вынуждающая сила, в данном случае - переменное (синусоидальное) магнитное поле. Мембрана, в свою очередь, заставляет колебаться частицы воздуха, и в пространстве за мембраной распространяется плоская продольная упругая волна.
Энергия мембраны есть энергия её движения, то есть чисто кинетическая энергия. (Мы полагаем мембрану безинерционной и неупругой, её колебания в точности соответствуют колебаниям магнитного поля.) Среду, в которой распространяется волна (воздух) будем считать идеальной, не поглощающей волну (реально это справедливо для небольших участков пространства, в пределах которых диссипацией энергии можно пренебречь).
Поскольку мембрана колеблется по синусоидальному закону, её энергия (кинетическая) также будет периодически меняться со временем, но с удвоенной частотой (энергия пропорциональна квадрату скорости и не зависит от её знака). Следовательно, энергия источника будет поступать в среду циклически, с частотой, в два раза большей частоты колебаний источника.
Какие формы принимает энергия в среде за мембраной? Во-первых, это кинетическая энергия частиц воздуха, пришедших в движение; во-вторых, поскольку среда упругая, это потенциальная энергия деформации воздуха. Причём и кинетическая, и потенциальная энергия в любой точке пространства изменяются абсолютно синхронно во времени: когда кинетическая энергия достигает максимума, то и потенциальная энергия максимальна, и наоборот. В самом деле, проследим за слоем воздуха непосредственно за мембраной: когда скорость мембраны максимальна, максимальна и скорость частиц воздуха, но при этом мы имеем и максимальное сжатие воздуха за мембраной. Когда скорость мембраны равна нулю (два раза за период), энергия мембраны равна нулю, в волну в эти моменты энергия не поступает.
Пусть v* - скорость частиц среды в какой-то момент времени в какой-то точке пространства (или, точнее, в физически малом объёме dV). Объёмная плотность кинетической энергии Wk запишется (r - плотность среды):
Объёмная плотность потенциальной энергии упруго деформируемой среды равна:
- фазовая скорость волны, - относительная деформация среды.
Учитывая, что:
имеем:
Причём в каждой точке пространства объёмные плотности кинетической и потенциальной энергий равны. Этот вывод справедлив для любых волн в упругих средах: полная механическая энергия волны в каждой точке есть сумма двух равных слагаемых, потенциальной и кинетической энергий.
Из вышеприведённой формулы следует, что среднее за период значение объёмной плотности энергии равно:
Скорость переноса энергии волной есть скорость перемещения в пространстве фиксированной амплитуды волны; для простой синусоидальной волны эта скорость совпадает с фазовой скоростью.
Введём новые понятия, характеризующие перенос энергии в пространстве.
ПОТОК ЭНЕРГИИ ЧЕРЕЗ ПЛОЩАДКУ dS - энергия, прошедшая через эту площадку в единицу времени.
Если
скорость переноса энергии ,
то поток энергии dФ через
площадку dS запишется: 
Если
площадка расположена не перпендикулярно
направлению распространения энергии,
следует писать в более общем виде: 
Если площадка расположена параллельно вектору скорости, то, разумеется, поток энергии через неё равен нулю. Напомню, что под направлением ориентации площадки понимается направление нормали к её поверхности.
ПЛОТНОСТЬ ПОТОКА
ЭНЕРГИИ U есть
поток энергии через единичную площадку,
то есть 
В отличие от потока плотность потока - величина векторная. Вектор плотности потока энергии волны носит ещё название вектора
Умова.
|
Среднее значение модуля вектора плотности потока энергии (вектора Умова) есть ИНТЕНСИВНОСТЬ ВОЛНЫ:
Обратите внимание, что интенсивность упругой (то есть механической, звуковой) волны зависит как от амплитуды, так и от частоты, - в отличие от интенсивности электромагнитной волны, которая зависит только от амплитуды и не зависит от частоты.