12. Свободные затухающие колебания в электрическом колебательном контуре, их дифференциальное уравнение и его решение.

Ответ рассмотрен в 11 вопросе

13. Вынужденные механические колебания, их амплитуда и фаза. Случай резонанса.

Будем рассматривать зависимость амплитуды А вынужденных колебаний от частоты ω. Будем рассматривать механические и электромагнитные колебания одновременно, при этом называя колеблющуюся величину либо смещением (х) тела, испытавающего колебания, из положения равновесия, либо зарядом (Q) конденсатора.  Из формулы (8) предыдущего раздела следует, что амплитуда А смещения (заряда) имеет максимум. Чтобы определить резонансную частоту ω_rez , — частоту, при которой амплитуда А смещения (заряда) будет максимальна, — нужно найти максимум функции (8) предыдущего раздела, или, что равносильно, минимум подкоренного выражения. Продифференцировав выражение под корнем по ω и приравняв его нулю, получим условие, из которого найдем ω_rez :    Это равенство верно при   , у которых только выражение со знаком плюс имеет физический смысл. Значит, резонансная частота   (1)  Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы (частоты вынуждающего переменного напряжения) к частоте, равной или близкой собственной частоте колебательной системы, называетсярезонансом (соответственно механическим или электрическим). При ω₀² >> δ² значение ω_rez практически равно собственной частотой ω₀ колебательной системы. Подставляя (1) в формулу (8) предыдущего раздела, найдем   (2)  На рис. 1 приведены зависимости амплитуды вынужденных колебаний от часто¬ты при различных значениях δ. Из (1) и (2) следует, что чем меньше δ, тем выше и правее лежит максимум данной кривой. Если ω→0, то все кривые достигают одного в того же, не равного нулю, предельного значения x₀/ω₀² , которое называется статическим отклонением. В случае механических колебаний x₀/ω₀² = F₀/(mω₀²) , в случае электромагнитных – U_m/(Lω₀²). Если ω&rarr∞, то все кривые асимптотически стремятся к нулю. Приведенное множество кривых называется резонансными кривыми. 

Рис.1

Из формулы (2) следует, что при малом затухании (ω₀² >> δ²) резонансная амплитуда смещения (заряда)    где Q — добротность колебательной системы, x₀/ω₀² - рассмотренное выше статическое отклонение. Значит, добротность Q характеризует резонансные свойства колебательной системы: чем больше Q, тем больше А_rez.  На рис. 2 даны резонансные кривые для амплитуды скорости (тока). Амплитуда скорости (тока)    достигает максимального значения при ω_rez=ω₀ и равна x₀/(2δ) , т. е. чем больше коэффициент затухания δ , тем ниже максимум резонансной кривой. Применяя выражения для циклического частоты свободных колебаний пружинного маятника, формулы δ=r/(2m) и и выражение для циклической частоты свободно колеблющегося колебательного контура вместе с δ=r/(2m), получим, что амплитуда скорости при механическом резонансе равна    а амплитуда тока при электрическом резонансе будет    Из выражения tgφ = 2δω/(ω₀² - ω²) вытекает, что если в системе отсутствует затухание (δ=0), то только в этом случае колебания и вынуждающая сила (приложенное переменное напряжение) имеют одинаковые фазы; во всех других случаях φ≠0.  Зависимость φ от ω при разных значениях δ графически изображена на рис. 3, из которого вытекает, что при изменении ω изменяется и сдвиг фаз φ. Из формулы (9) предыдущего раздела следует, что при ω=0 φ=0, а при ω=ω₀ независимо от значения коэффициента затухания φ = π/2, т. е. сила (напряжение) опережает по фазе колебания на π/2. При дальнейшем росте ω сдвиг фаз возрастает и при ω>>ω₀ , т. е. φ→π фаза колебаний почти противоположна фазе внешней силы (переменного напряжения). Множество кривых, изображенных на рис. 3, называется фазовыми резонансными кривыми.  Явления резонанса могут быть как полезными, так и вредными. Например, при конструировании машин и различного рода сооружений нужно, чтобы собственная частота колебаний их не совпадала с частотой возможных внешних воздействий, в противном случае возникнут вибрации, которые могут вызвать серьезные повреждения. С другой стороны, наличие резонанса дает возможность обнаружить даже очень слабые колебания, если их частота совпадает с частотой собственных колебаний прибора. Так, прикладная акустика, радиотехника, электротехника используют явление резонанса.