4

Тема 5: Логические основы эвм. Основные понятия: высказывание, логическая переменная, логическая функция (операция).

В ЭВМ информация подвергается не только арифметической, но и логической обработке. В основе работы логических схем простейших узлов ЭВМ лежит специальный математический аппарат, называемый алгеброй логики (либо булевой алгеброй (Дж.Буль – англ. математик), либо исчислением высказываний).

Высказыванием в алгебре логики считается любое утверждение (выражение), о котором можно сказать, что оно либо истинно, либо ложно. Примеры: 1) 5+3 – не является высказыванием; 2) 5=3 - высказывание со значением «ложь»; 3) 5>3 – высказывание со значением «истина»; 4) «Который час?» – не является высказыванием; 5) «Москва – столица России» - высказывание со значением «истина».

Если вместо чисел 5 и 3 использовать переменные Х и У, то для примеров 2) и 3) получим высказывания: 2) Х=У и 3) Х>У. Понятно, что данные высказывания могут принимать разное значение (истина или ложь) в зависимости от значений числовых переменных Х и У. Например, при Х=У=7 Х=У – истинное высказывание, а Х>У – ложное высказывание. А при Х=5 и У=3, наоборот: Х=У – ложь, Х>У – истина.

Таким образом, в алгебре логики имеет смысл говорить не только о понятии высказывания, но также и о понятии логической переменной как переменной, которая может принимать только значения логического типа: истина или ложь. Например, 1) обозначив в качестве А высказывание Х=У, получаем логическую переменную А, которая при разных условиях (значениях Х и У) может принимать как истинное, так и ложное значение; 2) если обозначить В = «Сейчас идет снег», то получаем логическую переменную В, которая может принимать как истинное, так и ложное значение.

Логические значения «истина» и «ложь» принято обозначать первыми буквами от этих слов: И и Л соответственно, либо T и F от английских true и false соответственно. Логические значения также удобно обозначать двоичными цифрами: 1 – истина, 0 – ложь. Тогда логическую переменную можно рассматривать как переменную, принимающую только два дискретных значения (истина или ложь, 1 или 0), что и позволяет описывать работу логических схем для простейших узлов ЭВМ с помощью математического аппарата алгебры логики.

Основные логические функции.

Если логическая функция F имеет n аргументов, т.е. F(x₁, x₂, …, x_n), то количество различных наборов (сочетаний) значений переменных x_i будет определяться формулой 2ⁿ. Например, при n=1 всего два набора: «0», «1»; при n=2 уже четыре (2²) набора: «00», «01», «10», «11»; а при n=3 восемь (2³) наборов: «000», «001», «010», «011», «100», «101», «110», «111» и т.д. _n

Общее число различных логических функций от n аргументов будет равно 2² . Например, для n=1,2,3,… их будет соответственно 4, 16, 256 и т.д. Значения этих функций для каждого набора входных переменных можно задать с помощью специальной таблицы – таблицы истинности.

Рассмотрим несколько наиболее распространенных логических функций двух аргументов, записав их значения в одной сводной таблице истинности:

1-й арг-т	2-й арг-т	инверсия	конъюнкция	дизъюнкция	импликация	эквивалентность	штрих Шеффера	стрелка Пирса
А	В	┐А	А&В	АVВ	А→В	А≡В
0	0	1	0	0	1	1	1	1
0	1	1	0	1	1	0	1	0
1	0	0	0	1	0	0	1	0
1	1	0	1	1	1	1	0	0

Из приведенных в таблице функций первые три (инверсия, конъюнкция и дизъюнкция) составляют функционально полный набор (логический базис), т.е. все остальные функции могут быть выражены через эти три функции. Например, А→В = ┐ АVВ, А ≡ В = (А → В) & ( В → А), штрих Шеффера = ┐(А&В), стрелка Пирса = ┐(АVВ).

Рассмотрим особенности и различные обозначения этих трех основных функций.

1. Инверсия или логическое отрицание.

Данную операцию можно считать одноместной, т.к. ее значение зависит только от одного аргумента. В результате работы функции значение аргумента меняется на противоположное (инвертируется). Обозначается либо знаком ┐перед аргументом, либо чертой ‾ над аргументом, либо «НЕ».

2. Конъюнкция или логическое умножение.

Данная операция является двуместной (зависит от обоих аргументов). Выдает значение «истина», только когда оба аргумента «истина». Обозначается либо символом Λ , либо символом &, либо «И».

3. Дизъюнкция или логическое сложение.

Данная операция также является двуместной. Принимает значение «истина», когда хотя бы один из аргументов «истина». Обозначается символом V, либо «ИЛИ».