П90 С.В. Паршина. Конспект лекций по математике: Элементы линейной алгебры / Факультет психологии ЮУрГУ , 2014.

План:

1. Матрицы. Виды матриц. Линейные операции с матрицами. Транспонирование и умножение матриц. Свойства операций с матрицами.

2. Определитель матрицы. Свойства определителей. Вычисление определителей.

3. Обратная матрица. Понятие алгебраического дополнения. Нахождение обратной матрицы. Решение матричных уравнений.

4. Системы линейных алгебраических уравнений. Основная и расширенная матрицы. Решения системы линейных алгебраических уравнений. Элементарные преобразования систем. Преобразование систем к трапециевидной форме. Исследование систем на совместность.

5. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Матричный метод решений систем. Метод Крамера. Метод Гаусса.

Конспект лекций по математике: Элементы линейной алгебры

Матрицы.

Прямоугольная таблица чисел вида , состоящая из строк и столбцов, называется числовой матрицей порядка . Для обозначения матриц обычно используют большие буквы латинского алфавита и т. д.

Числа , составляющие матрицу, называют ее элементами, где - это номер строки, - номер столбца, на пересечении которых расположен данный элемент.

Различают несколько видов матриц. Так, матрица вида , порядка называется матрицей-столбцом. Соответственно, если матрица имеет вид и порядок , то ее называют матрицей- строкой.

Матрица, содержащая одинаковое количество строк и столбцов, называется квадратной матрицей. Порядок квадратной матрицы определяют одним числом по количеству ее строк (столбцов). Например, квадратной матрицей третьего порядка, является матрица

.

Совокупность элементов квадратной матрицы, имеющие одинаковый номер строки и столбца, называют главной диагональю матрицы.

Матрица, состоящая из нулей, называется нулевой. Если квадратная матрица состоит из одних нулей, за исключением элементов главной диагонали , она называется диагональной. Например, диагональной матрицей третьего порядка, является матрица

.

Диагональная матрица, у которой главная диагональ заполнена единицами, называется единичной и обозначается буквой . Например, единичная матрица второго порядка имеет вид

.

Кроме перечисленных видов матриц выделяют также матрицы:

1) и 2) .

Первая из них называется верхней треугольной матрицей, а вторая - нижней треугольной. У этих квадратных матриц ниже (выше) главной диагонали все элементы нулевые. Матрицу произвольных размеров вида:

называют трапециевидной.

С матрицами можно проводить различные операции. Выделяют линейные и нелинейные операции. К линейным операциям относятся операция сложения двух матриц и операция умножения матрицы на число.

Так, суммой двух матриц одинакового порядка, называется матрица того же порядка, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов исходных матриц:

.

Произведением матрицы произвольного порядка, на число α называется матрица , каждый элемент которой является произведением соответствующего элемента исходной матрицы на это число: .

Например, .

Матрицу называют противоположной для матрицы и обозначают .

Операции сложения и умножения матриц на число обладают свойствами, которые мы примем без доказательства:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8. .

К нелинейным операциям с матрицами относятся операции умножения двух матриц и транспонирование матриц.

Произведением матрицы на матрицу называется матрица , каждый элемент которой равен сумме произведений элементов – ой строки матрицы на соответствующие элементы – ого столбца матрицы .

Например,

Операция умножения двух матриц не обладает законом коммутативности. В общем случае . Однако, если перемножаются две квадратные матрицы, одна из которых является единичной, то в силу определения операции умножения .

Произведение матриц, если оно существует, обладает следующими свойствами:

1.

2.

3.

4. .

Транспонированием матрицы называется операция замены строк матрицы столбцами с теми же номерами. В результате получается новая матрица порядка с теми же элементами, что и матрица . Операцию транспонирования матрицы обозначают . Например, если

, то .

Относительно операции транспонирования имеют место следующие свойства:

1.

2.

3.

4. .

Кроме указанных операций с матрицами можно указать еще одну операцию, которую называют обращением матрицы или нахождение матрицы, обратной данной. Для того чтобы ввести эту операцию, необходимо рассмотреть понятие определителя матрицы.