Визначення швидкостей точок тіла

На основі рівнянь (6.1) можна, користуючись формулами (1.9), (1.10), (3.4), (3.6), обчислити для будь-якої миті руху величину і напрям швидкості полюсу А та кутової швидкості .

Т оді, розглядаючи рух деякої точки В як складний і враховуючи (5.3), маємо:

, (6.2)

де - переносна швидкість поступального руху разом з т. А;

- швидкість відносного руху при обертанні точки В навколо полюса А, причому .

Рівняння (6.2) відображає наступну теорему: швидкість будь-якої точки плоскої фігури уявляє собою векторну суму швидкості поступального руху разом з полюсом А і швидкості обертального руху даної точки навколо цього полюса.

Теорема про проекції швидкостей двох точок

Проекції швидкостей двох будь-яких точок плоскої фігури на пряму, що з’єднує ці точки, дорівнюють одна одній.

Доведення цієї теореми очевидне, якщо спроектувати векторне рівняння (6.2) на пряму АВ:

,

де , оскільки , і, таким чином, маємо:

. (6.3)

Миттєвий центр швидкостей

При плоскопаралельному русі завжди існує така точка плоскої фігури, швидкість якої у дану мить дорівнює нулеві. Ця точка називається миттєвим центром швидкостей.

Проведемо через т. А перпендикуляр до і оберемо т. Р на відстані

.

Доведемо, що .

Згідно з (6.2)

,

де , причому , тобто , і .

Якщо при визначенні швидкості будь-якої точки обирати за полюс т. Р, то згідно (6.2) будемо мати

, , …, ,

або, враховуючи ,

, , …, ,

причому

, , …, .

Звідси виникає важливе для вирішення практичних задач співвідношення:

. (6.4)

Відстань будь-якої точки до миттєвого центра швидкостей називають миттєвим радіусом. Тому, враховуючи (6.4), нескінченно мале переміщення плоскої фігури можна уявити як миттєве обертання навколо миттєвого центра швидкостей, а через те швидкість точок плоскої фігури перпендикулярна до їх миттєвих радіусів.

Далі наведемо такі способи визначення положення миттєвого центра швидкостей.

1. М иттєвий центр швидкостей уявляє собою точку перетину перпендикулярів до векторів швидкостей усіх точок плоскої фігури, проведених через дані точки.

2. Я кщо вектори швидкостей і точок А і В паралельні, а , то для визначення миттєвого центра швидкостей треба врахувати пропорційність величин швидкостей точок їх миттєвим радіусам.

3. Я кщо вектори швидкостей і паралельні, але не перпендикулярні АВ, то миттєвий центр швидкостей знаходиться в нескінченності, тобто тіло бере участь у миттєво поступальному русі, при якому швидкості всіх точок в дану мить рівні між собою, а .

4. При плоскопаралельному русі тіла, що здійснюється його коченням по нерухомій поверхні без ковзання миттєвим центром швидкостей буде в кожну мить точка дотику.

Визначення прискорень точок тіла

Застосовуючи послідовність міркувань аналогічну використаній в теоремі про складання швидкостей (6.2), можна на основі теореми Коріоліса про складання прискорень точки при поступальному переносному русі записати:

, (6.5)

д е прискорення т. А є для т. В переносним, а прискорення - відносним, тобто тим прискоренням, що буде мати т. В при обертанні навколо т. А

, (6.6)

причому

, . (6.7)

Якщо прийняти до уваги, що в загальному випадку , то, враховуючи (6.6), рівняння (6.5) має такий остаточний вигляд:

. (6.8)

При розв’язанні практичних задач будувати вектор згідно (6.8) нерідко є недоречним. Зручніше обчислити модуль і напрям вектора , спроектувавши векторне рівняння (6.8) на обрані осі координат аналогічно (2.3), (2.4).