Пружинний маятник

Рис. 1.1.

Пружинний маятник – тіло, підвішене на пружині жорсткістю k. Стан тіла у якому пружина не деформована – це стан стійкої рівноваги. При відхиленні тіла від положення рівноваги у результаті деформації виникає сила пружності, що, відповідно до закону Гука, дорівнює .

Вільні коливання відбуваються за рахунок початкової енергії, у відсутності зовнішніх впливів на коливальну систему в подальшому.

У випадку пружинного маятника рівняння руху, відповідно до другого закону Ньютона, можна записати m = - kx

або + kx/ m = 0. (1.6)

Врахувавши, що , одержимо рівняння (1.5). Беручи до уваги рівняння (1.4), знаходимо період коливань пружинного маятника, який визначається як

. (1.7)

Потенціальна енергія пружинного маятника визначається як:

. (1.8)

Математичний маятник

Математичним маятником називають підвішений на тонкій нерозтяжній нитці вантаж, розміри якого менші від довжини нитки, а маса більша за масу нитки.

Положення, у якому нитка вертикальна – це положення стійкої рівноваги. У положенні стійкої рівноваги сила ваги mg зрівноважена силою натягу нитки Т. (див. рис.1.2). Якщо відхилити нитку на кут α – рівнодіюча сила ваги вантажу і натягу нитки буде спрямована в напрямку положення стійкої рівноваги.

. (1.9)

Якщо тіло відпустити, ми будемо спостерігати вільні коливання. Під час коливань змінюється тільки координата х. Запишемо проекцію рівнодіючої сили на вісь х:

F_х = Т_х = - |Т|sin (1.10)

При малих значенях  ( ~4^о) нехтуємо рухом уздовж вертикальної вісі у.

(1.11)

Визначимо з рівняння (1.10) враховуючи (1.9) проекцію рівнодіючої сили на вісь х, яка, відповідно до другого закону Ньютона, дорівнює

.

Враховуючи, що ,

Рис. 1.2.

Отримуємо ma=-mg ,

звідки a=-g .

Рівняння гармонічних коливань математичного маятника можна записати в диференціальній формі:

+ gх/l = 0. (1.12)

Підставивши значення одержимо рівняння (1.5) Звідси період коливань математичного маятника дорівнює:

, (1.13)

де l – довжина математичного маятника.

Фізичний маятник

Фізичний маятник – тверде тіло, яке під дією сили ваги виконує коливання навколо нерухомої осі, яка не проходить через центр мас. Вісь обертання, фізичного маятника розташована вище від центра мас (рис.1.3).

Обертальний момент, який виникає при коливанні фізичного маятника, дорівнює

M=Jε= J = F_τ ℓ = - mgℓsinα ≈ - mgℓα (1.14)

де J – момент інерції, ε – кутове прискорення, l – відстань між точкою підвісу та центром мас.

Рівняння (1.14) можна записати у вигляді J +mgℓα=0 або +mgℓα/J=0.

Звідси або .

Рис.1.3.

Період коливань фізичного маятника :

, (1.15)

де – зведена довжина фізичного маятника.

Зведена довжина фізичного маятника дорівнює довжині математичного маятника, які здійснюють коливання з однаковим періодом.

Період коливань фізичного маятника, а отже, і його зведена довжина, залежать від відстані між точкою підвісу до центра мас маятника . Відповідно до теореми Штейнера, момент інерції визначається, як сума моменту інерції відносно центру мас та добутку маси на квадрат довжини від точки підвісу до центу мас. Тоді період коливань дорівнюватиме:

, (1.16)

де J₀ – момент інерції центру мас.

На практиці значення низьких частот систем можуть бути малими. Наприклад, мотузка, яка підвішена на двох стовпах, може у випадку достатнього провисання виконувати вільні коливання з частотою 1-2 Гц. Коливання такого типу були виявлені восени 1959 р. у дротах лінії електромереж. Частота коливань була низькою біля 1,8 Гц. Дроти діаметром 43 мм, які були протягнуті над річкою, кріпилися до двох великих пилонів, відстань між якими була більше від 1,6 км.

Коли дув вітер з невеликою силою і в потрібному напрямку, з’являлись інтенсивні низькочастотні коливання дротів, відстань між якими була 8,2 м, вони дотикалися один до одного, що викликало коротке замикання в електромережі. У подальшому, щоб уникнути цих коливань, дроти вкривали тонкою пластиковою стрічкою, при цьому змінювалась геометрія поверхні, що обтікалась повітряним потоком.

Коливання дротів електромережі не є вільними коливаннями, оскільки система перебувала під дією зовнішнього джерела енергії – вітру. Для рішення цієї проблеми інженерам була потрібна інформація про значення власних частот системи, які близькі до частоти коливань дротів електромережі.