Лекція № 1. Механічні коливання

1.1. Гармонічні коливання та їх характеристики

Одним із типів руху механічних систем є малі коливання, які система виконує біля свого положення стійкої рівноваги.

Коливаннями – називаються рухи або процеси, які повторюються у часі. Коливання бувають як механічні, так і електромагнітні.

Однак, різні коливальні процеси описуються однаковими характеристиками та рівняннями.

Системи, у яких можна спостерігати періодичний рух, називаються коливальними. Періодичний рух, що одного разу виник, може продовжуватися без дії зовнішніх періодичних сил. Коливання, що відбуваються в системі, на яку не діють зовнішні сили, називаються вільними.

Вільні коливання відбуваються за рахунок початкової енергії, у відсутності зовнішніх впливів на коливальну систему в подальшому. Розглянемо ці рухи у найбільш простому випадку, коли система має усього лише один ступінь вільності. Це означає, що для однозначного визначення положення коливальної системи в просторі досить задати всього одне число. Це не обов'язково має бути декартова координата, а в залежності від умов задачі може виявитися більш зручним вибір якоїсь іншої величини. Така величина, що однозначно характеризує положення системи, називається її узагальненою координатою.

Найпростішим типом коливання є гармонічні коливання, де залежність від часу задається рівнянням:

, (1.1)

де А – амплітуда - максимальне значення коливної величини,

₀ – циклічна частота, яка є основною характеристикою коливань, що не залежить від початкових умов руху, і зокрема, від енергії,

₀ – початкова фаза коливань при t=0,

 = (₀t +₀)– фаза коливань у момент часу t.

Фаза показує стан коливальної системи на даний момент часу.

Певні стани системи повторюються через проміжок часу, який називається періодом коливань Т. Це час, за який фаза коливань збільшується на 2:

(1.2)

Таким чином, період коливань Т – це проміжок часу, через який повторюються значення всіх фізичних величин, які характеризують коливання. Наприклад, якщо система виконує n коливань за час t, то період Т знаходиться, як .

Період коливань у системі СІ виміряється в секундах [c].

Величина, обернена до періоду коливань називається частотою. Таким чином, частота це число коливань в одиницю часу. У системі СІ одиниця вимірювання частоти – Герц [Гц]

. (1.3)

Якщо підставити (1.2) у (1.3), одержимо зв'язок циклічної частоти з частотою, а також і з періодом коливань:

. (1.4)

1.2. Диференціальне рівняння вільних коливань

Для вивчення будь-якого фізичного явища необхідна модель. Моделлю для вивчення коливань є гармонічний осцилятор.

Гармонічним осцилятором називається коливальна система, коливання якої, може бути описаним диференційним рівнянням вільних гармонічних коливань, що має вигляд:

+ ω²х . (1.5)

Вираз (1.5) є лінійним однорідним диференціальним рівнянням другого порядку. Відповідно до загальної теорії лінійних диференціальних рівнянь, розв’язком рівняння (1.5) є вираз (1.1).

Прикладами гармонічного осцилятора є пружинний, математичний і фізичний маятники.