5.3. Понятие о неберущихся интегралах
Не все интегралы выражаются в элементарных функциях. Те интегралы, которые нельзя выразить в элементарных функциях, называются
неберущимися. Приведем основные примеры таких интегралов.
Например,
– интеграл Пуассона, он широко используется
в статистической физике, в теории
теплопроводности и диффузии.
Интегралы Френеля
и
широко
применяются в оптике.
Часто встречаются в приложениях следующие интегралы:
– синус интегральный,
– косинус
интегральный,
– интегральный
логарифм.
Неберущимися являются также эллиптические интегралы. Они имеют вид
Покажем, что вычисление интеграла (1) сводится к вычислению
интеграла (2). Так
как любой кубический многочлен с
действительными коэффициентами имеет
хотя бы один действительный корень
,
то его можно разложить на множители
.
Тогда заменив
,
получим
.
Таким образом, вычисление эллиптического интеграла вида (1) сводится к вычислению эллиптического интеграла вида (2).
После некоторых преобразований вычисление интеграла (2) сводится к вычислению трёх интегралов
Они называются соответственно эллиптическими интегралами первого, второго и третьего родов.
Заменой
эти интегралы сводятся к следующим:
;
;
.
Они называются эллиптическими интегралами первого, второго и третьего родов в форме Лежандра.
Для всех перечисленных интегралов составлены таблицы. Ввиду важности приложений эти функции изучены с такой же полнотой, как и простейшие элементарные функции.