Глава VIII Неопределенный интеграл

1. Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства

Функция называется первообразной функции на интервале если дифференцируема на и справедливо равенство .

Если – какая–либо первообразная для , то любая другая первообразная для имеет вид где

Произвольная первообразная для на называется неопределенным интегралом от функции и обозначается символом

Здесь знак знак интеграла, – подынтегральное выражение; – подынтегральная функция.

Если – одна из первообразных для , то

где – произвольная константа.

Операцию нахождения неопределенного интеграла от данной функции называют интегрированием этой функции. Интегрирование – операция, обратная операции дифференцирования. У всякой непрерывной на данном интервале функции существует неопределенный интеграл.

Свойства неопределенного интеграла

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Свойства 3) и 4) называют свойствами линейности неопределенного интеграла.

Таблица основных неопределенных интегралов

1. 

2. 

3. ,

в частности,

4. 

5. ,

в частности,

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

13. 

14. 

15. ;

16. 

17. 

2. Методы вычисления неопределенных интегралов

2.1. Непосредственное интегрирование

Вычисление неопределенных интегралов с использованием таблицы интегралов и свойств, приведенных выше, называют непосредственным интегрированием. Рассмотрим некоторые примеры.

Пример.

Вычислить интеграл:

Решение. 

Преобразуем подынтегральную функцию . Тогда

.

Далее воспользуемся свойствами линейности и формулой 3 таблицы интегралов.

.

Пример.

Вычислить интеграл: .

Решение.

Прежде всего, разделим почленно числитель на знаменатель в подынтегральной функции:

Преобразуем каждое слагаемое и воспользуемся свойством линейности:

Задачи.

Вычислить неопределенные интегралы:

8.1. ; 8.2. ;

8.3. ; 8.4. ;

8.5. ; 8.6. ;

8.7. ; 8.8. ;

8.9. ; 8.10. ;

8.11. ; 8.12. ;

8.13. ; 8.14. ;

8.15. ; 8.16. .

2.2. Метод подведения под знак дифференциала

Напомним, что для дифференциала функции справедлива формула:

Часто при нахождении неопределенного интеграла возможно преобразование интеграла к виду

Преобразование проводится таким образом, чтобы в интеграле рассматривался новый аргумент , который вычисляется с помощью таблицы интегралов.

Чтобы операция подведение под знак дифференциала не вызывала трудностей, необходимо выучить таблицу производных. Из нее, очевидно, следуют формулы для наиболее часто встречающихся дифференциалов:

, ,

, ,

, ,

, ,

, .

Следует помнить, что если к функции, стоящей под знаком дифференциала, прибавить любую константу, то дифференциал не изменится:

Пример.

Вычислить интеграл: .

Решение.

Этот интеграл вычислим методом подведения под знак дифференциала, умножим и разделим его на 7.

.

Теперь, если считать новым аргументом, интеграл можно вычислить по формуле 7 таблицы интегралов.

Следует помнить, что если к функции, стоящей под знаком дифференциала, прибавить константу, то дифференциал от этого не изменится.

Задачи.

Внести следующие функции под знак дифференциала:

8.17. ; 8.18. ;

8.19. ; 8.20. ;

8.21. ; 8.22. ;

8.23. ; 8.24. ;

8.25. ; 8.26. .

Пример.

Вычислить интеграл: .

Решение.

Поскольку в знаменателе присутствует желательно под знаком дифференциала также получить поэтому . Далее прибавим под знаком дифференциала 5, т.е. . Тогда

Пример.

Вычислить интеграл:

Решение.

Задачи.

Вычислить неопределенные интегралы:

8.27. ; 8.28. ;

8.29. ; 8.30. ;

8.31. ; 8.32. ;

8.33. ; 8.34. ;

8.35. ; 8.36. ;

8.37. ; 8.38. ;

8.39. ; 8.40. ;

8.41. ; 8.42. ;

8.43. ; 8.44.