12. Асимптоты

Асимптотой кривой называется прямая, к которой неограниченно приближается данная кривая, когда ее точка неограниченно удаляется от начала координат. Различают асимптоты вертикальные и наклонные.

Прямая называется вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы одно из предельных значений является бесконечным.

Прямая называется наклонной асимптотой графика непрерывной функции при ( или ), если , где .

График функции имеет при наклонную асимптоту тогда и только тогда, когда существуют два конечных предела: .

Пример.

Найти асимптоты графика функции .

Решение.

Прямая является вертикальной асимптотой, так как . Поскольку и , то график функции имеет и наклонную асимптоту (рис.17).

x

Задачи.

Найти асимптоты графиков функций:

7.127. ; 7.128. ;

7.129. ; 7.130. .

13. Общий план исследования функции и построение ее графика

При исследовании функции и построении ее графика полезно придерживаться следующей последовательности действий:

1. Найти область определения функции, исследовать ее на концах области определения.

2. Определить возможный тип симметрии: исследовать на четность, нечетность.

3. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.

4. Найти вертикальные и наклонные асимптоты.

5. Найти промежутки возрастания, убывания функции и точки экстремума функции.

6. Найти промежутки выпуклости, вогнутости функции и точки перегиба функции.

7. Построить эскиз графика функции с учетом исследования.

Пример.

Исследовать функцию и построить ее график.

Решение.

1. Функция не определена при . Следовательно, область определения состоит из трех интервалов: . При стремлении аргумента к концам области определения соответственно получаем: .

2. Функция нечетная, т.к. . Значит, график ее будет симметричен относительно начала координат.

3. при .

4. Вертикальные асимптоты: и , так как .

Найдем наклонные асимптоты:

, .

Следовательно, наклонная асимптота .

5. Находим первую производную функции: . при . Данная функция возрастает при , т.к. в этих интервалах и убывает при , т.к. в этих интервалах . Следовательно, точка является точкой максимума (первая производная при переходе через это значение меняет знак с плюса на минус) и , а точка является точкой минимума (первая производная меняет знак с минуса на плюс) и .

6. Находим вторую производную функции: . Так как при , то график функции является выпуклым вверх в этих интервалах. Так как при , то график функции является выпуклым вниз в этих интервалах. Точка является точкой перегиба, т.к. вторая производная меняет знак в окрестности этой точки.

7. Построим график данной функции (рис.18).

Задачи.

Исследовать функции и построить их графики:

7.131. ; 7.132. ;

7.133. ; 7.134. ;

7.135. ; 7.136. ;

7.137. ; 7.138. ;

7.139. ; 7.140. ;

7.141. ; 7.142. ;

7.143. ; 7.132. .

94