9. Признаки постоянства, возрастания и убывания функции

Необходимое и достаточное условие постоянства функции выражается равенством , т.е. .

Функция называется возрастающей в промежутке , если для любых двух значений из неравенства следует неравенство .

Функция называется убывающей в промежутке , если для любых двух значений из неравенства следует неравенство .

Достаточное условие возрастания (убывания) функции выражается следующей теоремой.

Теорема. Если на данном промежутке производная функции положительна, то функция возрастает на этом промежутке; если производная отрицательна, то функция убывает на соответствующем промежутке.

10. Экстремумы функции

Рассмотрим функцию , областью определения которой является промежуток . Если можно указать такую окрестность точки , принадлежащую промежутку , что для всех из этой окрестности, , выполняется неравенство , то точка называется точкой максимума функции . Максимум функции обозначим .

Если можно указать такую окрестность точки , принадлежащую промежутку , что для всех из этой окрестности, , выполняется неравенство , то точка называется точкой минимума функции . Минимум функции обозначим .

Максимум и минимум функции называются экстремумом. Значение аргумента, при котором достигается экстремум, называется точкой экстремума.

Необходимое условие существования экстремума

Теорема. Если дифференцируемая функция имеет в точке экстремум, то ее производная , или не существует.

Замечание 1. Если , то отсюда еще не следует, что точка является точкой экстремума. Например, для функции : , но не является точкой экстремума, т.к. при и при .

Замечание 2. Функция может достигать экстремума также в точке, в которой производная не существует. Например, функция не имеет производной в точке , но достигает в ней минимума: , а для всякой другой точки (рис.15).

Достаточные условия существования экстремума

Теорема. Если в точке производная функции и меняет знак при переходе через это значение, то является точкой экстремума, причем:

1) – точка максимума, если знак меняется с плюса на минус;

2) – точка минимума, если знак меняется с минуса на плюс.

Теорема. Если в точке первая производная функции равна нулю, а вторая производная отлична от нуля, то является точкой экстремума, причем:

1) – точка максимума, если ;

2) – точка минимума, если .

Пример.

Найти экстремумы функции .

Решение.

Поскольку , то точками, для которых , являются . Исследуем знак второй производной в этих точках: . Следовательно, – точки минимума, – точка максимума; .

Задачи.

Найти интервалы возрастания и убывания функций:

7.111. ; 7.112. ;

7.113. ; 7.114. .

Найти экстремумы следующих функций:

7.115. ; 7.116. ;

7.117. ; 7.118. ;

7.119. ; 7.120. ;

7.121. ; 7.122. .

11. Направления выпуклости, точки перегиба

График функции называется выпуклым вниз на интервале , если он целиком расположен выше любой его касательной на этом интервале.

График функции называется выпуклым вверх на интервале , если он целиком расположен ниже любой его касательной на этом интервале.

Теорема. Если во всех точках интервала вторая производная функции отрицательна, т.е. , то ее график является выпуклым вверх на этом интервале. Если во всех точках интервала вторая производная функции положительна, т.е. , то ее график является выпуклым вниз на этом интервале.

Точкой перегиба графика функции называется такая его точка, в которой выпуклость меняется на противоположную.

Необходимое условие существования точки перегиба

Теорема. Если – точка перегиба функции , то в этой точке вторая производная либо равна нулю, либо не существует.

Достаточное условие существования точки перегиба

Теорема. Пусть функция имеет первую производную в точке и вторую производную в некоторой окрестности этой точки. Тогда если при переходе через точку вторая производная меняет знак, то – точка перегиба.

Пример.

Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции .

Решение.

Поскольку вторая производная обращается в ноль при и меняет знак при переходе через это значение, например, , то – точка перегиба, . Так как при и при , то график функции является выпуклым вверх на интервале и выпуклым вниз на интервале .

Задачи.

Найти интервалы выпуклости и точки перегиба функций:

7.123. ; 7.124. ;

7.125. ; 7.126. .