I.Краткие методические указания к выполнению контрольной работы по разделу «Теоретическая механика».

Прежде чем приступить к выполнению контрольной работы, рекомендуется еще раз прочитать общие методические указания.

Пояснение к задаче № 1

К выполнению задачи следует приступить только после проработки и усвоения темы 1 «Основные понятия и аксиомы статики» и темы 2 «Плоская система сходящихся сил». Порядок решения задач на действие сходящихся сил следующий:

1. Выявляется, какое тело (или точка) находится в состоянии равновесия.

2. Устанавливаются все действующие на тело силы (нагрузки) и изображаются на схеме в виде векторов.

3. Освобождается тело от связей, которые заменяются реакциями, изображающимися на схеме также векторами.

4. При аналитическом решении задачи наносятся оси координат X и Y, на которые проектируются активные и реактивные силы.

При этом для упрощения решения одну из осей координат следует совместить с линией действия одной из неизвестных сил, чтобы получить одно уравнение с одним неизвестным.

5.Составляются и решаются уравнения равновесия сходящихся сил.

Пример 1 На шарнир В стержневой конструкции

АВС (рис.1,а) действует сила F = 5 кН.

Требуется определить усилия в стержнях AB и CB.

Решение: Рассмотрим равновесие узла B, к которому приложена сила F.

Рисунок 1.1а Стержневая конструкция

Освободим этот узел от связей, мысленно вырезав его и заменив связи реакциями N₁ и N ₂ . (рис. 1.1, б).

Направление реакции связей примем от узла, т.е. будем предполагать, что усилия в стержнях растягивающие.

Однако в результате решения может оказаться, что в стержнях, или в одном, Рис.1.1,а усилия получились со знаком минус, тогда это будет означать, что усилия будут сжимающими.

Таким образом, на узле B действуют сходящиеся силы F и неизвестные нам реакции связей N₁ и N ₂ .

Примем точку B за начало координат и нанесем координатные оси X и Y, причем одну из координатных осей (ось Y) направим по линии действия неизвестной силы N₁ .

Проектируя все силы, действующие на узел B, на координатные оси, получим:

Σ X _к = 0; - F sin 75° + N ₂ cos 65° = 0

Решение: Рассмотрим равновесие узлов B, к которому приложена сила F.

Рисунок 1.1б.Узел В освобожден от связей.

Σ Y _к = 0; F sin 75° + N ₁ cos 25° = 0.

Решая первое уравнение, получим:

N ₂ = =5. 0,97/0,42 = 11, 6 Кн.

Рисунок1.1в.Силовой многоугольник.

Величина усилия N ₂ получена со знаком плюс, следовательно, стержень BC растянут.

Из решения второго уравнения получаем:

(-)

Величина усилия N₁ получена со знаком минус, следовательно, стержень AB не растянут, а сжат.

Графический метод решения

Выбрать масштаб сил μ _F = 2 кH/см строим замкнутый силовой многоугольник рисунок 1.1в.

Для этого на плоскости из произвольной точки О откладываем в принятом масштабе силу F. Ее можно отложить вертикально или параллельно силе F.

Из концов векторов ОА проводим линии, параллельно стержням AB и BC или проводим точки AB под углом 75° к ОА, а линию ОB – под углом 100° к вектору ОА до пересечения в точке В. Таким образом, получим замкнутый треугольник ОАВ, который выражает собой геометрическое условие равновесия сил, приложенных к углу В.

Линия АВ изображает собой величину, а стрелка указывает направление усилия N₁ в стержне АВ.

Измерив линию АВ и умножив на масштаб сил, находим величину усилия N₁ , равную 11,8 кН.

Усилие N₁ направлено к узлу В, значит стержень АВ сжат.

Линию ВО в силовом многоугольнике выражает усилие N₂ в выбранном масштабе, равное 11,6 кН.

Направление усилия N₂ от В это означает, что стержень ВС растянут

Пояснение к задаче № 2.

В данной задаче требуется для двух опорной балки определить реакции опор, рисунок1.2а.

Решение:

1. Определяем реакции опор рисунок, 1.2б, Σ M_A = 0. F₁ . 0,8 – M – F₂ . 2,3 + R_B . 4 = 0,

откуда: R_B = M + F₂ . 2,3 - F₁ . 0,8 / 4 = 5 + 30 . 2,3 – 20 . 0,8 / 4 = 14,5 кН.

Σ M_B = 0; R_А . 4 – М - F₁ . 3,2 + F₂ . 1,7 = 0,

откуда: R_A = M + F₁ . 3,2 – F₂ . 1,7 / 4 = 5 + 20. 3,2 – 30 . 1,7 / 4 = 4,5 кН.

Рисунок 1.2...Нагруженная двух опорная балка.

Для проверки составляем сумму проекций всех сил на вертикальную осьY:

Σ Y = 0. R_A - F₁ + F_{2 -} R_B = 0, 4,5 - 20 + 30 – 14,5 = 34,5 – 34,5 = 0.

Реакции найдены, верно.

Пояснение к задаче № 3.

К решению этой задачи следует приступать после изучения темы «Центр тяжести» и разбора примера. С целью упрощения решения следует стремиться разбить заданную сложную плоскую фигуру на возможно меньшее число простых фигур, применяя в случае необходимости «метод отрицательной площадей».

Для заданной плоской фигуры (тонкой однородной пластины) определить положение центра тяжести. Размеры на чертеже даны в сантиметрах, рисунок 1.3.

Решение:

Определение положения центра тяжести фигуры означает определение координат ее центра тяжести в выбранной системе координат. Данную сложную фигуру представляем состоящей из трех простых:

1-прямоугольник, 11 – круга, 111 – треугольника.

Площади кругового и треугольного отверстий вводим в расчет со знаком минус, а площадь прямоугольника – без учета имеющих в нем отверстий.

Площади простых фигур: A₁ = 12 . 31 = 372 см² ;

A₂ = - πd² / 4 = - 3,14 . 10² / 4 = -78,5 см² ;

A₃ = - 12 . 9/2 = - 54 см² ,

Где, совпадающая с осью симметрии высота треугольника

h = 31 – (8 + 10 / 2 + 6) = 12 см

Фигура имеет ось симметрии, следовательно, ее центр тяжести лежит на этой оси. Совмещаем координатную ось X с осью симметрии, а начало координат – с левым краем фигуры (чтобы координаты центров тяжести оказались положительными).

Рисунок 1.3.Плоская фигура.

Координаты центров тяжести простых фигур:

X₁ = 31 / 2 = 15,5 см; X₂ = 8 см;

X₃ = 31 – 6 – 12 / 3 = 21 см,

где 12/3 см – расстояние от центра тяжести треугольника до его основания, равное 1/3 высоты.

Координаты центра тяжести заданной фигуры

X_С = A₁X₁ + A₂X₂ + A₂X₂ / + A₁ + A₂ + A₃ =

=372 . 15,5 – 78,5 . 8 – 54 . 21/372 – 78,5 – 54 = 16,7 см