7.6. Косинус и синус преобразования Фурье
Одно из применений интеграла Фурье связано с решением определенного класса интегральных уравнений.
Если функция является четной, то на основании (7.18) и (7.19) двойной интеграл Фурье для этой функции примет вид:
.
(7.23)
Положив
,
(7.24)
равенство (7.23) перепишем в виде:
.
(7.25)
Функция
называется косинус преобразованием
Фурье функции
,
а функция
косинус
преобразованием Фурье функции
.
Если в (7.24) функцию считать заданной, а функцию искомой, то равенство (7.24) представляет собой так называемое интегральное уравнение относительно функции . Тогда выражение (7.25) определяет решение этого уравнения.
Аналогично, если использовать двойной интеграл Фурье для нечетной функции , то получим равенства:
,
(7.26)
,
(7.27)
которые
называются синус преобразованием
Фурье для функций
и
соответственно.
Пример 7.6. Решить интегральное уравнение
Р е ш е
н и е. Умножив обе части заданного
уравнения на
,
для
(при
правая часть уравнения остается
равной нулю) перепишем это уравнение
в виде:
,
то есть
получим интегральное уравнение типа
(7.24), в котором
.
Тогда, используя (7.25), найдем решение
исходного уравнения:
.
Таким образом, решением исходного
интегрального уравнения является
функция
.
Задание 7.6. Найти решение интегрального уравнения
.
Ответ:
.
Упражнения к разделу 7
1. На отрезке разложить в ряд Фурье функции:
1)
2)
3)
4)
.
Ответы:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
2. Представить интегралом Фурье функцию
Ответ:
.
3. Решить интегральное уравнение:
Ответ:
.