7.4. Ряд Фурье для функции любого периода

Напомним еще одно свойство периодических функций: если функция имеет период , то период функции , где , равен .

Отмеченное свойство позволяет решить вопрос о разложении в тригонометрический ряд функции, период которой отличен от . А именно, если функция имеет период и удовлетворяет на отрезке длиной условиям Дирихле, то ряд Фурье, построенный для этой функции, имеет вид:

, (7.9)

коэффициенты которого вычисляются по формулам:

(7.10)

В частном случае, если функция является четной с периодом , то ряд Фурье для такой функции получается в виде ряда по косинусам:

, (7.11)

коэффициенты которого равны:

. (7.12)

Если  нечетная функция с периодом , то она раскладывается в ряд Фурье по синусам:

, (7.13)

коэффициенты которого вычисляются по формулам:

. (7.14)

Пример 7.4. На отрезке функцию представить в виде ряда Фурье.

Р е ш е н и е. Так как длина отрезка, на котором требуется представить заданную функцию рядом Фурье, равна 4, то продолжим эту функцию на всю числовую ось с периодом , откуда . Подсчитаем коэффициенты ряда Фурье (7.9) по формулам (7.10), где в качестве пределов интегрирования взяты точки концов отрезка :

;

;

,

так как . Тогда разложение заданной функции на отрезке в ряд Фурье (7.9) примет вид:

.

Задание 7.4. Функцию разложить в ряд Фурье на отрезке .

Ответ: .

7.5. Интеграл Фурье

Рассмотрим, наконец, предельный случай, когда отрезок , на котором заданная функция раскладывается в ряд Фурье, неограниченно расширяется, то есть .

Имеет место следующее утверждение (интегральная теорема Фурье): если функция удовлетворяет условиям Дирихле на любом отрезке числовой оси и абсолютно интегрируема, то есть существует несобственный интеграл , то для этой функции справедливо представление

(7.15)

в любой точке ее непрерывности, а в точках разрыва этой функции имеет место

,

где и  предельные значения функции слева и справа от соответствующей точки разрыва.

Используя формулу для косинуса разности двух углов, равенство (7.15) приводится к виду:

, (7.16)

где

, . (7.17)

Интеграл, стоящий в правой части формулы (7.16), называется интегралом Фурье, а в правой части формулы (7.15)  двойным интегралом Фурье.

Если функция четна, то согласно (7.17) и свойству четной функции получим:

, , (7.18)

а интеграл Фурье для этой функции примет вид:

, (7.19)

если же функция нечетна, то

, , (7.20)

а сама функция будет представлена интегралом Фурье вида:

. (7.21)

По аналогии с рядом Фурье интеграл Фурье (7.16) следует рассматривать как разложение функции по гармоникам с непрерывно меняющейся от 0 до частотой .

Пример 7.5. Представить интегралом Фурье функцию

Р е ш е н и е. Заданная функция абсолютно интегрируема, удовлетворяет условиям Дирихле и является нечетной (рис. 7.5), поэтому она будет представлена интегралом Фурье (7.21), где

. (7.22)

Так как

;

,

то, подставив выражения найденных интегралов в (7.22), получим:

.

Таким образом, с помощью интеграла Фурье кусочно-заданная функция записывается в виде одного аналитического выражения:

.

Задание 7.5. Представить интегралом Фурье функцию

Ответ: .