7.2. Периодическое продолжение функций

Напомним одно важное свойство периодических функций: если интегрируемая на всей числовой оси функция имеет период , то интеграл от этой функции по отрезку длиной не зависит от выбора начальной точки этого отрезка, то есть

. (7.4)

Отмеченное свойство позволяет представлять в виде ряда Фурье периодическую с периодом функцию, заданную не только на отрезке , симметричном относительно начала координат, но и на отрезке , где  любое число. В последнем случае при вычислении коэффициентов Фурье по формулам (7.3) согласно (7.4) следует только изменить пределы интегрирования: нижний на , а верхний на .

Теперь рассмотрим вопрос о разложении в ряд Фурье на отрезке непериодической функции , также удовлетворяющей условиям Дирихле на этом отрезке. Поскольку нас интересует разложение функции только в пределах отрезка , то периодически продолжим эту функцию на всю числовую ось (рис. 7.2), подчинив ее условию периодичности с периодом : .

Очевидно, что периодически продолженная функция является суммой построенного для нее ряда Фурье, которая совпадает с исходной функцией на отрезке и не совпадает с ней вне этого отрезка.

Пример 7.2. Функцию представить рядом Фурье на отрезке .

Р е ш е н и е. Используя формулы (7.3), учитывая при этом свойство (7.4) периодических функций, запишем выражения коэффициентов Фурье для заданной функции:

;

;

.

Применив метод интегрирования по частям, найдем интересующие нас циклические интегралы:

,

откуда

;

и аналогично:

,

откуда

.

Тогда искомые коэффициенты Фурье будут равны:

, ,

а ряд Фурье для заданной функции примет вид:

.

Задание 7.2. Функцию разложить в ряд Фурье на отрезке .

Ответ: .

7.3. Ряды Фурье для четных и нечетных функций

Рассмотрим некоторые особенности разложения в ряд Фурье четных и нечетных функций. Напомним: функция называется четной, если для любого значения имеет место равенство , и эта функция называется нечетной, если .

Отметим важное свойство рассматриваемых функций: интеграл по отрезку , симметричному относительно начала координат, от нечетной функции равен нулю, а от четной функции равен удвоенному значению интеграла по отрезку .

Пусть  четная периодическая функция с периодом , удовлетворяющая условиям Дирихле на отрезке . Тогда с учетом отмеченного выше свойства формулы (7.3) вычисления коэффициентов Фурье примут вид:

(7.5)

а ряд Фурье (7.1) для этой функции будет представлен рядом по косинусам:

. (7.6)

Если функция нечетна, то формулы (7.3) получим в виде:

, (7.7)

а ряд Фурье (7.1) для нечетной функции будет представлен рядом по синусам:

. (7.8)

В частности, если функция задана на отрезке , то на отрезок ее удобно продолжить двумя способами: либо четным образом (рис. 7.3), и тогда функция будет разложена в ряд Фурье (7.6) по косинусам; либо нечетным образом (рис. 7.4), и тогда для этой функции получим ряд Фурье (7.8) по синусам.

Пример 7.3. Функцию на отрезке разложить в ряд Фурье по синусам.

Р е ш е н и е. Разложение заданной функции в ряд по синусам означает нечетное ее продолжение на отрезок . Используя (7.7), получим: ;

,

так как . Тогда согласно (7.8) искомое разложение функции примет вид:

.

Задание 7.3. Функцию разложить в ряд Фурье на отрезке .

Ответ: .