5.6. Свойства степенных рядов

Отметим основные свойства степенных рядов.

Степенной ряд равномерно сходится на любом отрезке, лежащем внутри интервала сходимости этого ряда.

Сумма степенного ряда является непрерывной функцией на интервале сходимости этого ряда.

Всякий степенной ряд можно интегрировать по любому отрезку, лежащему внутри интервала сходимости ряда.

Любой степенной ряд можно дифференцировать в его интервале сходимости.

Нетрудно показать, что после дифференцирования или интегрирования степенного ряда радиус сходимости вновь полученного ряда совпадает с радиусом сходимости исходного ряда. Это позволяет сделать вывод: степенной ряд можно произвольное число раз дифференцировать или интегрировать по любому отрезку, лежащему в интервале его сходимости.

Свойства дифференцируемости и интегрируемости степенных рядов могут быть использованы для вычисления сумм этих рядов (см. подразд. 4.5), а также для решения обратной задачи  разложения функций в степенные ряды.

Пример 5.9. Функцию разложить в ряд по степеням .

Р е ш е н и е. Так как , то, дважды дифференцируя разложение (5.20), получим:

.

Поскольку при дифференцировании интервал сходимости ряда не меняется, то полученное разложение справедливо при .

Пример 5.10. Функцию разложить в ряд Маклорена.

Р е ш е н и е. Исходя из того, что , и используя разложение (5.23), получим:

Интегрируя теперь полученный степенной ряд в пределах от 0 до , найдем искомое разложение заданной функции в ряд Маклорена:

.

Полученный ряд сходится на отрезке , так как он мажорируется на этом отрезке сходящимся рядом геометрической прогрессии

.

Задание 5.8. Используя табличное разложение (5.18), получить разложение (5.19).

Задание 5.9. Исходя из соотношения , разложить функцию в ряд по степеням .

Ответ: , .

5.7. Разложение функций в обобщенные степенные ряды

Приемы разложения функций в степенные ряды по степеням разности и табличные разложения могут быть использованы при разложении функций в обобщенные степенные ряды.

Пример 5.11. Функцию разложить по степеням функции .

Р е ш е н и е. На основании (5.22) получим:

.

Полученное разложение сходится к функции при , или , откуда .

Пример 5.12. Функцию представить в виде ряда по степеням функции .

Р е ш е н и е. Преобразовав заданную функцию , воспользуемся табличным разложением (5.21):

.

Полученный обобщенный степенной ряд сходится к функции при , откуда , то есть , или , где .

Задание 5.10. Функцию разложить по степеням функции .

Ответ: , .

Задание 5.11. Функцию представить в виде обобщенного ряда по степеням функции .

Ответ: , .