5.4. Основные табличные разложения

К табличным разложениям относятся разложения в ряды Тейлора основных элементарных и некоторых часто встречающихся функций:

, ; (5.17)

, ; (5.18)

, ; (5.19)

, ; (5.20)

, ; (5.21)

, ; (5.22)

, , (5.23)

где  любое действительное число, а ряд (5.23) называется биномиальным рядом.

Табличные разложения позволяют в ряде случаев достаточно просто получить разложения в степенные ряды некоторых функций, не прибегая к их непосредственному разложению путем вычисления коэффициентов Тейлора.

Пример 5.5. Функцию разложить по степеням и найти область сходимости ряда к этой функции.

Р е ш е н и е. Сначала преобразуем заданную функцию:

.

Обозначив , воспользуемся табличным разложением (5.21):

(5.24)

Возвращаясь, наконец, к первоначальной переменной, получим:

(5.25)

Так как разложение (5.24) верно при , то область сходимости степенного ряда (5.25) к заданной функции определяется неравенством , откуда .

Пример 5.6. Функцию разложить в окрестности точки и указать область, в которой полученное разложение верно.

Р е ш е н и е. Перейдем к новой переменной , воспользуемся разложением (5.23), а затем вернемся к первоначальной переменной :

,

где .

Биномиальный ряд относительно переменной сходится при , тогда область сходимости к заданной функции построенного ряда по степеням определяется неравенством , откуда .

Задание 5.4. Представить в виде ряда Маклорена следующие функции:

а) ; б) ; в) .

Ответы: а) , ; б) , ;

в) , .

Задание 5.5. Функцию разложить в ряд Тейлора в окрестности точки и найти область сходимости ряда к заданной функции.

Ответ: , .

5.5. Арифметические операции над степенными рядами

Поскольку любой функциональный ряд, в том числе и степенной, в каждой фиксированной точке области его сходимости обращается в сходящийся числовой ряд, то арифметические операции, рассмотренные ранее для числовых рядов (см. раздел 1) распространяются и на эти ряды. При этом операции сложения, умножения ряда на число, перемножение и деление рядов осуществляются по тем же правилам, что и для числовых рядов.

Применение арифметических операций над рядами позволяет расширить возможности разложения функций в степенные ряды с использованием табличных или уже известных разложений.

Пример 5.7. Разложить в ряд Маклорена функцию .

Р е ш е н и е. Используя правило перемножения рядов (1.9) и табличные разложения (5.17) и (5.18), получим:

Нетрудно проверить, что общий член полученного ряда имеет вид , при этом разложение

имеет место на всей числовой оси, так как разложения (5.17) и (5.18) справедливы при .

Пример 5.8. Функцию разложить по степеням разности .

Р е ш е н и е. Так как

,

то, положив и воспользовавшись разложением (5.20), получим:

.

Поскольку разложение (5.20) верно при , то область сходимости полученного степенного ряда к заданной функции определяется неравенством , откуда .

Задание 5.6. Разложить в ряд Маклорена следующие функции:

а) ; б) .

Ответы: а) , ; б) , .

Задание 5.7. Функцию разложить в ряд по степеням и найти область сходимости полученного ряда к этой функции.

Ответ: , .