5.2. Исследование на сходимость обобщенных степенных рядов

Функциональный ряд вида

,

где  некоторые числа (коэффициенты ряда), а  функция, определенная на некотором промежутке, называется обобщенным степенным рядом.

С помощью подстановки этот ряд приводится к обычному степенному ряду

.

Тогда, если интервал сходимости последнего ряда описывается неравенством , то для нахождения области сходимости исходного обобщенного степенного ряда следует решить неравенство относительно переменной .

Пример 5.3. Найти область сходимости ряда

(5.5)

Р е ш е н и е. Исследуемый ряд представляет собой обобщенный степенной ряд. Положив , получим степенной ряд

(5.6)

с радиусом сходимости

.

В граничной точке полученный ряд (5.6) обращается в расходящийся числовой ряд Далее, поскольку для всех , то область сходимости ряда (5.6) определяется неравенством . Тогда, возвращаясь к переменной , получим неравенство , откуда , или . Последнее неравенство и определяет область сходимости исследуемого обобщенного степенного ряда (5.5).

Задание 5.2. Найти область сходимости ряда

Ответ: , .

5.3. Ряды Тейлора и Маклорена

До сих пор рассматривалось решение так называемой прямой задачи теории рядов: по заданному ряду находится область его сходимости и, по возможности, вычисляется сумма этого ряда. В то же время многие приложения рядов требуют решения обратной задачи: необходимо построить такой функциональный ряд, чтобы суммой этого ряда была наперед заданная функция . Иными словами, ставится вопрос о возможности представления некоторой функции в виде, например, степенного ряда, то есть

. (5.7)

Если на некотором промежутке изменения переменной функция имеет производные любого порядка, то данная проблема может быть решена, если коэффициенты ряда (5.7) вычислить по формулам

, , , , (5.8)

при этом степенной ряд (5.7) примет вид:

(5.9)

Степенной ряд (5.9), коэффициенты которого вычислены по формулам (5.8), называется рядом Тейлора, построенным для функции , а коэффициенты этого ряда  коэффициентами Тейлора.

Нетрудно заметить, что n-я частичная сумма ряда Тейлора (5.9) совпадает с многочленом Тейлора при разложении функции по формуле Тейлора. При этом остаточный член формулы Тейлора, записанный, например, в форме Лагранжа

, (5.10)

где , называется в этом случае остаточным членом ряда Тейлора.

Имеет место следующее утверждение: для того, чтобы бесконечно дифференцируемая в точке функция представляла собой сумму составленного для нее ряда Тейлора, необходимо и достаточно, чтобы остаточный член ряда (5.10) стремился к нулю при .

Таким образом, при непосредственном разложении функции в ряд Тейлора необходимо сначала формально составить соответствующий этой функции ряд Тейлора (5.9), подсчитав коэффициенты этого ряда по формулам (5.8), а затем, используя выражение (5.10) остаточного члена ряда Тейлора, установить область, в которой построенный ряд сходится к функции , то есть когда имеет место

(5.11)

Представление функции в виде ряда Тейлора (5.11) называется также разложением функции в окрестности точки . В частном случае (разложение в окрестности точки ) получается ряд

, (5.12)

который называется рядом Маклорена. Остаточный член этого ряда в форме Лагранжа имеет вид:

, . (5.13)

При определении области сходимости ряда Тейлора к функции путем исследования поведения остаточного члена этого ряда при в ряде случаев целесообразно использовать равенство

, (5.14)

справедливое для любого .

Пример 5.4. Функцию разложить в ряд Тейлора в окрестности точки .

Р е ш е н и е. Заданная функция удовлетворяет необходимым условиям разложения в ряд Тейлора, так как она дифференцируема произвольное число раз. Чтобы подсчитать коэффициенты Тейлора, найдем производные этой функции:

,

,

,

,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(5.15)

и вычислим значения функции и ее производных в точке :

, , , ,

,

Подставив полученные значения в формулу (5.9), запишем ряд Тейлора для заданной функции :

(5.16)

Теперь установим область сходимости построенного ряда Тейлора для функции к самой этой функции. Учитывая (5.15), остаточный член Ряда Тейлора (5.16) согласно (5.10) примет вид:

,

где .

Исследуем поведение этого остаточного члена при :

,

так как согласно (5.14), , поскольку , а функция ограничена при любом .

В силу того, что при любом значении остаточный член ряда Тейлора (5.16) стремится к нулю, то этот ряд сходится к заданной функции на всей числовой оси, то есть при имеет место разложение:

Задание 5.3. Функцию разложить в ряд Тейлора (Маклорена) по степеням и найти область сходимости этого ряда.

Ответ: , .