4.5. Свойства равномерно сходящихся рядов и их применение
Отметим важные для практического применения свойства равномерно сходящихся рядов.
Сумма ряда непрерывных функций,
равномерно сходящегося на некотором
промежутке, есть непрерывная функция
на этом промежутке.
Равномерно сходящийся на некотором
промежутке
ряд с непрерывными на том же промежутке
членами ряда можно интегрировать на
рассматриваемом промежутке, при этом
ряд, составленный из интегралов от
членов исходного ряда, сходится к
интегралу от суммы этого ряда, то
есть, если
,
(4.11)
то
,
(4.12)
где
.
Пусть функциональный ряд (4.11) сходится
на некотором промежутке
,
а его члены имеют непрерывные
производные
на этом промежутке. Тогда, если ряд
,
полученный после дифференцирования членов исходного ряда, является равномерно сходящимся на промежутке , то его сумма равна производной от суммы исходного ряда.
Пример 4.6. Найти сумму ряда
(4.13)
Р е ш е
н и е. Исследуемый ряд равномерно
сходится на промежутке
,
так как на этом промежутке он
мажорируется сходящимся рядом Дирихле
,
поскольку
при
.
Дважды дифференцируя исходный ряд (4.13), получим сначала функциональный ряд
,
а затем ряд
,
(4.14)
который
представляет собой сходящийся ряд
геометрической прогрессии со
знаменателем
и первым членом
,
поскольку
в области равномерной сходимости
этого ряда
.
Это позволяет найти сумму полученного
ряда (4.14):
,
то есть
.
(4.15)
Интегрируя теперь ряд (4.15) по
отрезку
,
где
:
,
будем иметь:
.
Интегрируя затем последний ряд еще раз по тому же отрезку:
,
получим исходный ряд:
,
искомая сумма которого равна:
.
Таким
образом, в области сходимости
исследуемого ряда
его сумма равна
.
Задание 4.6. Найти сумму функционального ряда
Ответ:
.
Задание
4.7. Исходя из соотношения
,
найти сумму ряда
Ответ:
.
Упражнения к разделу 4
1. Найти области сходимости следующих функциональных рядов:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
.
Ответы:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
.
2. Для функционального ряда
выяснить
вопрос о сходимости в следующих
точках: 1)
;
2)
.
Ответы: 1) ряд расходится; 2) ряд сходится.
3. Исследовать на сходимость функциональный ряд
в следующих точках: 1)
;
2)
;
3)
.
Ответы: 1) ряд расходится; 2) ряд расходится; 3) ряд сходится.
4.
Убедиться в том, что функциональный
ряд
равномерно сходится на всей числовой
оси.
5.
Показать, что функциональный ряд
равномерно сходится на отрезке
.
6.
Доказать, что к функциональному ряду
нельзя применить свойство о почленном
дифференцировании ряда.
7.
Убедиться в том, что функциональный
ряд
равномерно сходится на всей числовой
оси
,
но его нельзя дифференцировать ни
в каком интервале.
8.
Найти область сходимости и сумму
ряда
.
Ответ:
,
где
.
(Указания: сделайте замену переменной
,
а затем последовательно примените
свойства интегрируемости и
дифференцируемости равномерно
сходящихся рядов).