4.3. Применение признаков Даламбера и Коши

На практике для определения областей сходимости функциональных рядов наиболее часто применяются признаки Даламбера и Коши абсолютной сходимости числовых рядов.

Применительно к функциональному ряду по признаку Даламбера находится предел отношения модуля последующего члена ряда к модулю предыдущего, то есть

, (4.5)

а по признаку Коши находится предел

. (4.6)

Так как при ряд сходится, а при  расходится, то для определения области сходимости функционального ряда находятся такие значения , при которых имеет место неравенство . Поскольку признаки Даламбера и Коши не дают ответа о сходимости ряда при , то в точках , при которых , функциональный ряд следует исследовать на предмет его сходимости особо.

Пример 4.3. Найти область сходимости ряда

Р е ш е н и е. Применим признак Даламбера абсолютной сходимости ряда. Так как

, ,

то согласно (4.5) получим:

.

Отсюда следует, что исследуемый ряд сходится абсолютно при . При данный ряд расходится. Проверим поведение ряда при . Если , то исследуемый функциональный ряд обращается в знакочередующийся числовой ряд

,

который сходится по признаку Лейбница, так как

, .

При получается знакоположительный ряд

,

который расходится по признаку сравнения с расходящимся гармоническим рядом :

.

Таким образом, область сходимости исследуемого функционального ряда определяется неравенством , то есть .

Пример 4.4. Определить область сходимости ряда

Р е ш е н и е. Воспользуемся признаком Коши абсолютной сходимости ряда. Согласно (4.6) получим:

.

По признаку Коши ряд сходится абсолютно при , а это имеет место при . Если , то , то есть ряд расходится. При исходный функциональный ряд обращается в расходящийся числовой ряд

Таким образом, область сходимости исследуемого ряда определяется неравенством .

Задание 4.3. Найти области сходимости следующих рядов:

а) ; б) ; в) ; г) .

Ответы: а) ; б) ; в) ; г) .

4.4. Равномерная сходимость функциональных рядов

В теории функциональных рядов особое место занимает класс так называемых равномерно сходящихся рядов, поскольку эти ряды обладают некоторыми важными свойствами.

Пусть  сумма сходящегося в области функционального ряда

, (4.7)

а  его частичная сумма.

Функциональный ряд (4.7) называется равномерно сходящимся в области к функции , если для любого числа найдется такой номер , что для всех и для любого выполняется неравенство , то есть

. (4.8)

Сравнение определения (4.8) равномерной сходимости ряда с определением (4.4) его обычной сходимости показывает, что в случае равномерной сходимости ряда номер его члена , начиная с которого выполняется неравенство , не зависит от , а определяется только наперед заданным числом и является общим для всей области .

Геометрическая интерпретация равномерной сходимости ряда на отрезке заключается в том, что, начиная с номера , все члены последовательности частичных сумм ряда в пределах отрезка целиком лежат в -полоске функции , являющейся суммой данного ряда (рис. 4.1).

Следует заметить, что из равномерной сходимости ряда в области следует сходимость его в каждой точке этой области, в то же время, сходящийся в обычном смысле в области ряд может в этой области равномерно и не сходиться.

Общий признак равномерной сходимости функционального ряда определяется критерием Коши: для того, чтобы функциональный ряд (4.7) равномерно сходился на множестве , необходимо и достаточно, чтобы для любого числа существовал такой номер , что при всех неравенство выполнялось при любом целом и для всех , то есть

. (4.9)

Критерий Коши играет огромную роль в теоретических исследованиях, но на практике используется более простой достаточный признак равномерной сходимости (признак Вейерштрасса): если функциональный ряд на некотором множестве мажорируется числовым рядом, то он равномерно сходится на этом множестве.

В свою очередь, числовой сходящийся знакоположительный ряд

(4.10)

называется мажорирующим рядом на множестве по отношению к функциональному ряду (4.7), если при любом все члены ряда (4.7) не превосходят по абсолютной величине соответствующих членов ряда (4.10), то есть при всех и любом выполняется неравенство .

Пример 4.5. Убедиться в том, что ряд

равномерно сходится на всей числовой оси.

Р е ш е н и е. Числовой знакоположительный ряд сходится по признаку Даламбера:

.

Далее, так как , то при любом . Таким образом, сходящийся ряд является мажорирующим по отношению к исследуемому функциональному ряду на всей числовой оси. Следовательно, исследуемый ряд сходится равномерно на любом отрезке оси .

Задание 4.4. Показать, что нижеследующие ряды равномерно сходятся на всей числовой оси:

а) ; б) ; в) .

Задание 4.5. Доказать, что функциональный ряд

равномерно сходится на всей положительной полуоси.