4. Функциональные ряды и их сходимость

4.1. Понятие функционального ряда

Пусть каждому натуральному числу по определенному правилу ставится в соответствие некоторая функция , определенная на множестве изменения переменной . Тогда множество занумерованных функций называется функциональной последовательностью.

Выражение вида

, (4.1)

где функции являются членами функциональной последовательности , называется функциональным рядом.

Функции называются членами ряда (4.1), а множество , на котором определены все эти функции,  областью определения данного функционального ряда.

Зафиксируем произвольную точку . Тогда в точке функциональный ряд (4.1) обращается в числовой ряд

, (4.2)

который в рассматриваемой точке может сходиться или расходиться.

Функциональный ряд (4.1) называется сходящимся в точке , если сходится соответствующий числовой ряд (4.2), и расходящимся в этой точке в противном случае.

Пример 4.1. Убедиться в том, что функциональный ряд

сходится в точке .

Р е ш е н и е. Так как , то после подстановки в исходный ряд, получим знакочередующийся ряд

,

который сходится по признаку Лейбница, так как

, .

Следовательно, исходный функциональный ряд в точке сходится.

Задание 4.1. Показать, что функциональный ряд

в точке сходится, а в точке расходится.

4.2. Область сходимости функционального ряда

Пусть функциональный ряд (4.1) определен в области .

Совокупность всех значений переменной , для которых функциональный ряд (4.1) сходится, называется областью сходимости этого ряда, а сам ряд называется сходящимся в области .

Очевидно, что область сходимости ряда является подмножеством его области определения , то есть .

Если функциональный ряд (4.1) сходится на множестве , то для каждого значения существует число , являющееся суммой числового ряда (4.2). Это означает, что на множестве определена функция

, (4.3)

называемая суммой функционального ряда (4.1).

Как и для числового ряда, сумма первых членов функционального ряда (4.1) называется n-й частичной суммой этого ряда, а ряд  n-м остатком ряда (4.1).

Каждому функциональному ряду (4.1) однозначно соответствует функциональная последовательность его частичных сумм, которая может либо расходиться, либо сходиться к предельной функции , которая является суммой функционального ряда (4.1).

Функциональный ряд (4.1) называется сходящимся в области , если в этой области сходится функциональная последовательность его частичных сумм .

В свою очередь, используя определение предела числовой последовательности и данное выше определение сходимости функционального ряда в некоторой области , можно сформулировать более конкретное определение сходящегося в этой области ряда: функциональный ряд (4.1) называется сходящимся на множестве к функции , если для любого числа и для любого из этого множества найдется такой номер , что для всех будет выполняться неравенство , то есть

. (4.4)

Для определения областей сходимости функциональных рядов можно использовать достаточные признаки сходимости числовых рядов.

Пример 4.2. Найти область сходимости функционального ряда

Р е ш е н и е. Исследуемый ряд, определенный при , представляет собой бесконечную геометрическую прогрессию со знаменателем . Так как ряд геометрической прогрессии сходится абсолютно при и расходится при , то заданный ряд сходится при , то есть при выполнении двойного неравенства , откуда область сходимости исходного ряда определяется как .

Задание 4.2. Найти области сходимости следующих рядов:

а) ; б) .

Ответы: а) ; б) .