3. СХОДИМОСТЬ ЗНАКОПЕРЕМЕННЫХ РЯДОВ

И ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ СУММ

ЧИСЛОВЫХ РЯДОВ

3.1. Знакочередующийся ряд и признак Лейбница

его сходимости

Рассмотрим еще один частный вид числового ряда и укажем удобный для практической реализации достаточный признак исследования на сходимость этого ряда.

Ряд, составленный из положительных и отрицательных членов, у которого соседние члены имеют противоположные знаки, называется знакочередующимся рядом.

Знакочередующийся ряд принято записывать в виде

, (3.1)

где ,

Для знакочередующегося ряда имеет место следующий достаточный признак сходимости (признак Лейбница): если в знакочередующемся ряде (3.1) абсолютные величины членов ряда убывают и общий член ряда стремится к нулю, то есть

, ,

то данный ряд сходится, при этом его сумма положительна и не превосходит первого члена ряда.

Заметим, что если , то согласно необходимому признаку сходимости знакочередующийся ряд (3.1) расходится; а если имеет место , но абсолютные величины членов ряда (3.1) монотонно не убывают, то признак Лейбница не дает ответа на вопрос о сходимости или расходимости знакочередующегося ряда.

Пример 3.1. Убедиться в сходимости ряда

Р е ш е н и е. Так как логарифмическая функция является возрастающей функций, то есть

,

то абсолютные величины членов исходного ряда убывают:

,

при этом

.

Следовательно, по признаку Лейбница исходный ряд сходится.

Задание 3.1. Исследовать на сходимость следующие ряды:

а) ; б) ; в) .

Ответы: а) ряд сходится; б) ряд сходится; в) рад расходится.

3.2. Абсолютная и условная сходимости числовых рядов

Рассмотрим, наконец, пригодные для практического использования признаки сходимости произвольного числового ряда

, (3.2.)

то есть ряда с членами произвольных знаков, который называется также знакопеременным рядом.

Предварительно отметим два вида сходимости знакопеременного ряда. С этой целью составим ряд из абсолютных величин исходного ряда:

(3.3)

Сходящийся числовой ряд (3.2) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд (3.3), составленный из абсолютных величин членов исходного ряда (3.2).

Если числовой ряд (3.2) сходится, а ряд (3.3), составленный из абсолютных величин его членов, расходится, то исходный ряд (3.2) называется условно сходящимся.

Очевидно, что сходящийся знакоположительный ряд является абсолютно сходящимся.

Абсолютно сходящиеся ряды наряду со свойствами сходящихся рядов обладают следующими дополнительными свойствами/

При перемножении двух абсолютно сходящихся рядов (см. подразд. 1.4) сумма полученного ряда будет равна произведению сумм перемножаемых рядов.

Члены абсолютно сходящегося ряда можно группировать произвольным образом, получая абсолютно сходящийся ряд с суммой, равной сумме исходного ряда.

Члены абсолютно сходящегося ряда можно переставлять произвольным образом, при этом сумма ряда остается прежней.

Следует заметить, что отмеченные свойства абсолютно сходящихся рядов не распространяются на ряды, сходящиеся условно. Это утверждение наглядно иллюстрируется теоремой Римана: если задано некоторое произвольное число , то в условно сходящемся ряде можно так переставить члены, что сумма полученного ряда будет равна выбранному числу ; более того, после перестановки членов ряда можно получить расходящийся ряд.

Пример 3.2. Исследовать на сходимость числовой ряд

Р е ш е н и е. Заданный знакочередующийся ряд сходится по признаку Лейбница, так как

; .

Составим ряд из абсолютных величин исходного ряда:

и исследуем его на сходимость по признаку Даламбера:

.

Так как сходится ряд, составленный из абсолютных величин сходящегося исходного ряда, то исходный ряд сходится абсолютно.

Задание 3.2. Исследовать на сходимость числовые ряды:

а) ; б) ; в) .

Ответы: а) ряд сходится условно; б) ряд сходится абсолютно; в) ряд сходится условно.

Задание 3.3. Вычислить точное значение суммы произведения рядов и .

Ответ: 0,125.

3.3. Достаточный признак абсолютной сходимости знакопеременных рядов

Один из основных способов доказательства абсолютной сходимости произвольного числового ряда (3.2) основан на применении теоремы Эйлера: достаточным условием сходимости знакопеременного ряда (3.2) является сходимость ряда (3.3), составленного из абсолютных величин членов исходного ряда.

Заметим, что с помощью этого достаточного признака невозможно доказать условную сходимость ряда или его расходимость.

Пример 3.3. Убедиться в абсолютной сходимости числового ряда

Р е ш е н и е. Составим ряд из абсолютных величин исходного ряда:

и сравним его со сходящимся рядом Дирихле . Так как для любого натурального имеет место , то . Таким образом, по признаку сравнения сходится ряд, составленный из абсолютных величин исходного ряда, но тогда по теореме Эйлера исходный ряд сходится абсолютно.

Задание 3.4. Доказать, что числовой ряд

сходится абсолютно.