1. Числовые ряды и операции над ними

1.1. Понятия числового ряда и его сходимости

Пусть задана некоторая бесконечная числовая последовательность , где  множество натуральных чисел.

Числовым рядом называется выражение вида

, (1.1)

где числа называются членами этого ряда.

Сумма первых членов ряда (1.1)

(1.2)

называется n-й частичной суммой данного ряда, а числовой ряд

,

полученный из исходного ряда путем отбрасывания первых его членов  n-м остатком ряда (1.1).

Для любого ряда может быть построена последовательность его частичных сумм , которая, как и всякая последовательность, может сходиться или расходиться.

Если существует предел последовательности частичных сумм числового ряда (1.1), то этот предел называется суммой данного ряда, а сам ряд  сходящимся. Таким образом,

. (1.3)

Если же предел последовательности частичных сумм ряда (1.1) не существует, то этот ряд называется расходящимся. Очевидно, что расходящийся ряд суммы не имеет.

Основной задачей теории рядов является исследование их поведения, а в случае сходимости  вычисление сумм этих рядов. При этом следует заметить, что точные значения сумм удается подсчитать только для некоторых рядов частного вида.

Пример 1.1. Исследовать на сходимость ряд геометрической прогрессии

, (1.4)

где  первый член геометрической прогрессии, а  ее знаменатель.

Р е ш е н и е. Из курса элементарной математики известно, что сумма первых членов геометрической прогрессии при может быть найдена по формуле

. (1.5)

Если , то при . Тогда:

,

то есть существует предел частичных сумм ряда (1.4), и, следовательно, ряд геометрической прогрессии в этом случае сходится.

Если , то при . В этом случае имеет место:

,

то есть ряд (1.4) расходится.

В случае же ряд (1.4) принимает вид , а сумма первых членов этого ряда равна , и тогда , то есть ряд также расходится.

Наконец, если , то ряд (1.4) имеет вид В этом случае при четном и при нечетном. Следовательно, предел частичных сумм ряда при не существует, то есть исследуемый ряд расходится.

Таким образом, ряд геометрической прогрессии (1.4) является сходящимся при к сумме и расходящимся при .

Пример 1.2. Найти сумму ряда

Р е ш е н и е. Если общий член ряда является рациональной функцией целочисленной переменной , то для нахождения суммы такого ряда целесообразно представить общий член ряда в виде суммы простейших дробей. Применив правило разложения рациональной дроби на простейшие дроби, получим:

, (1.6)

а после приведения к общему знаменателю и приравнивания числителей в (1.6) будем иметь:

.

Приравнивая, наконец, коэффициенты при одинаковых степенях в последнем равенстве, получим систему линейных алгебраических уравнений относительно искомых коэффициентов разложения (1.6):

.

Таким образом, .

Используя полученное разложение общего члена ряда, запишем теперь первых членов заданного ряда:

, , ,

,

и найдем их сумму:

.

Перейдя, наконец, к пределу при , вычислим сумму исходного ряда, используя тем самым непосредственно определение его сходимости:

.

Задание 1.1. Найти суммы рядов или убедиться в их расходимости:

а) ; б) ; в) .

Ответы: а) ; б) ; в) ряд расходится.