-
Глава 1. Комплексные числа
§1. Комплексные числа.
1.1. Понятие комплексного числа. Операции над комплексными числами.
1.1.1. Определение. Комплексным числом называется выражение вида a+bi, где a и b произвольные действительные числа, i некоторый новый символ, называемый мнимой единицей; a называется действительной частью, b мнимой частью комплексного числа a+bi.
Множество всех комплексных чисел обозначается через С: С={a+bi | , R}1.
Действительная часть a комплексного числа =a+bi обозначается через Re, а мнимая часть через Im. Таким образом, если =a+bi, то Re=a и Im=b.
Два комплексных числа называются равными, если их действительная и мнимая части равны соответственно: = Re=Re и Im=Im.
Число a+(b)i обозначают через abi, то есть a+(b)i =abi.
1.1.2. Определение. Суммой двух комплексных чисел a+bi и c+di называется комплексное число (a+c)+(b+d)i. Их произведением называется комплексное число (acbd)+(ad+bc)i.
Сумма комплексных чисел и обозначается через +, а их произведение через . Таким образом, по определению
(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i и (a+bi)(c+di)=(acbd)+(ad+bc)i.
1.1.3. Теорема. Операции сложения и умножения над комплексными числами удовлетворяет условиям:
1) Для любых , из С следует, что += +.
2) Для любых , и из С следует, что ( +)+= +( +).
3) Для любых , и из с следует, что
(+)=+ и (+)=+.
4) В С существуют такие комплексные числа 0С и 1С, что 0С+=+0С= и 1С=1С= для любого из С.
5) Для любого из С в С существует такой, что +=0С. Такой обозначается через .
6) Для любого 0С из С в С существует такой, что =1С.
При этом
0С=0+0i,
1С=1+0i,
если
=a+bi,
то
=(a)+(b)i,
и если
=a+bi0С
(то есть a2+b20),
то
=
i.
Числа 0С
и 1С
называются соответственно комплексным
нулём и
комплексной
единицей,
противоположным
к ,
обратным
к .
Как видим, свойства 1) 6) операций сложения и умножения над комплексными числами практически идентичны аналогичным операциям над действительными числами. Из этих свойств (назовём их основными) вытекают другие, которые также идентичны свойствам сложения и умножения действительных чисел. Среди них укажем следующие:
7) 0С и 1С единственны.
8) В суммах и произведениях вида (…((1+2)+3)+…+k) и (…((12)3)…k) скобки можно расставлять произвольным образом. В связи с этим скобки принято опускать:
(…((1+2)+3)+…+k)=1+2+…+k,
(…((12)3)…k)=12…k.
9) Для любого из С ()= и ( ) = (0С).
10) Для любых , из С существует единственное х из С такое, что х+= и +х= . Оно равно х=+(). Это число обозначается через и называется разностью чисел и .
11) Для
любых ,
из
С
(0С)
существует
единственное х
из С
такое,
что х=
и
х=
. Оно равно х=
.
Это число
обозначается через
и называется частным
чисел
и .
12) Для любых комплексных чисел 1, 2, …, k, имеют место равенства
(12…k)=12…k,
(12…k)=12…k.
Наконец, для комплексных чисел, так же, как и для действительных, определена степень с целым показателем k:
k=
для которой выполнены свойства, аналогичные свойствам степени действительного числа с целым показателем:
kl=k+l,
=kl,
(k)
l=kl,
k
k=()k,
=
.
Отметим также, что справедливы свойства, аналогичные для степеней сумм и разностей действительных чисел. В частности, для любых комплексных чисел и имеют место формулы сокращённого умножения:
2 2=( )( +),
3 3=( )( 2 ++ 2),
3 + 3=( +)( 2 + 2),
( +)2= 2 +2+ 2,
( )2= 2 2+ 2,
( +)3= 3 +32+3 2+ 3,
( )3= 3 32+3 2 3.
В общем случае справедлива формула бинома Ньютона:
(+)n=
.
1.1.4. Упражнение. Вычислить:
а) (32i)(2+3i)+(5+2i)(2i);
г)
;
б) (32i)(13i)(5+2i)(1+2i);
д)
;
в)
;
е)
.
Решение. г) Найдём отдельно числитель, предварительно вычислив (2+i)3 и (2i)3.
Имеем
(2+i)2=(2+i)(2+i)=(2211)+(21+12)i=3+4i,
(2+i)3=(2+i)2(2+i)=(3+4i)(2+i)=(3241)+(31+42)i=2+11i,
(2i)2=(2+(1)i)2=(2+(1)i)(2+(1)i)=(22(1)(1))+(2(1)+(1)2)i=34i,
(2i)3=(2i)2(2i)=(34i)(2i)=(32(4)(1))+(3(1)+(4)2)i=211i.
Поэтому
(2+i)3+(2i)3
2(2+i)+(2i)(2+i)2(2+i)(2i)+(2i)2=
=(4+0i)(3+4i)(5+0i)+(34i)=(4+0i)(1+0i)=4+0i.
Далее,
(2+i)3+(2i)3=(2+11i)+(211i)=(2+2)+(11+(11))i=4+0i,
=
=(4+0i)(5+2i)
=(4+0i)(
+
i)=
=(4+0i)(
i)=4
0(
)+4(
)0
i=
i.
(1) применяем формулу для 3+ 3 при =2+i и =2i
Ответ: i.