1.2. Классификация задач оптимизации

1.2.1. Пример математической модели

чтобы не отпугнуть читателя сложными математическими фор­мулами, для составления модели возьмем самое простое изделие. это будет даже не кувшин, форму которого описать достаточно трудно. будем проектировать бак, имеющий форму пря­моугольного параллелепипеда, объем которого

V = abh, (1.1.1)

где a, b, h — стороны бака.

итак, мы подошли к задаче составления нашей первой модели. прежде чем составить математическую модель, необходимо сформулировать содержательную постановку задачи, которая может быть следующей. требуется определить размеры бака, объемом V = 2000, чтобы на его изготовление пошло как можно меньше материала, площадь которого

S = 2[ab+(a+b)h]. (1.1.2)

такая постановка может быть записана следующим образом:

(1.1.3)

эта запись читается так: минимизировать величину S при условии, что V = 2000. подставим в (1.1.3) значения V (1.1.1) и S (1.1.2), тогда получим:

(1.1.4)

к этим зависимостям добавим очевидное для нас, но необходимое для компьютера, условие, согласно которому все стороны прямоугольника могут быть только положительными величинами. это условие запишем так:

a, b, h  0,

тогда получим нашу первую математическую модель задачи поиска оптимального решения:

(1.1.5)

эта модель состоит из трех составляющих: целевой функции (цф), ограничения (огр), граничных условий (гру). смысл этих составляющих рассмотрим чуть позже.

1.2.2. Общий случай задачи оптимизации

как же выглядит постановка задачи оптимизации в общем виде? чтобы ответить на этот вопрос, перейдем от первой модели (1.1.5) к общему случаю. обозначим искомые переменные в общем виде х₁ = а, х₂ = b, х₃ = h. тогда (1.1.5) запишем так:

(1.1.6)

очевидно, что (1.1.6) может быть записана в виде

(1.1.7)

и нетрудно видеть, что (1.1.7) является частным случаем задачи, которая в общем случае записывается так:

(1.1.8)

систему (1.1.8) принято записывать более компактно.

(1.1.9)

запись (1.1.9) и является общей формой записи задачи оптимизации. в эту систему, как и в нашу первую модель (1.1.5) входят три составляющие.

1. цф — целевая функция или критерий оптимизации, показывает, в каком смысле решение должно быть оптимальным, т. е. наилучшим. при этом возможны 3 вида назначения целевой функции:

• максимизация;

• минимизация;

• назначение заданного значения.

2. огр — ограничения устанавливают зависимости между переменными. они могут быть как односторонними, например:

g_i(x_j)  b_i,

так и двусторонними

a_i  g_i(x_j)  b_i.

при решении задачи оптимизации с помощью Excel такое двустороннее ограничение записывается в виде двух односторонних ограничений

g_i(x_j)  a_i, g_i(x_j)  b_i.

3. гру — граничные условия показывают, в каких пределах могут быть значения искомых переменных в оптимальном решении.

решение задачи, удовлетворяющее всем ограничениям и граничным условиям, называется допустимым. если математическая модель задачи оптимизации составлена правильно, то задача будет иметь целый ряд допустимых решений. поясним это положение. важной характеристикой задачи оптимизации является ее размерность, определяемая числом переменных n и числом ограничений m. соотношение этих величин является определяющим при постановке задачи оптимизации. возможны три соотношения n < m, n = m, n > m, которые мы и рассмотрим.

1. n < m

например,

здесь n = 1, m = 2. очевидно, что такие задачи решения не имеют.

2. n = m

например,

в данном случае n = m = 2. такое соотношение n и m — это необходимое условие для решения системы уравнений.

для внимательного читателя добавим, что когда мы говорим о количестве уравнений, то имеем в виду только линейно-независимые уравнения. напомним, что линейно-зависимыми называются такие уравнения, когда одно из них образуется умножением левой и правой части другого уравнения на постоянное число или сложением нескольких уравнений.

очевидно, что система

в которой n = m = 2 решения не имеет, т. к. эти уравнения линейно-зависимые.

3. n < m

например,

х₁+ х₂ = 5,

где n = 2, m = 1.

в этом случае может быть бесчисленное множество значений х₁ и х₂, которые удовлетворяют данному уравнению.

до сих пор мы рассматривали соотношения между n и m для ограничений в виде уравнений. достаточно часто ограничения записываются в виде неравенств. посмотрим, что будет в этих случаях на примере неравенства

х₁ Ј 5.

вводом дополнительной переменной у₁ і 0 перейдем от заданного неравенства к уравнению

х₁+ у_{1 =} 5.

для этого уравнения n = 2, m = 1 и, значит, оно имеет бесчисленное множество решений.

если в общем случае ограничения имеют вид

то их можно записать в виде

g_i(x_j) + y _i = b_i,

у_i  0; .

в этом случае общее число переменных x_j и y_i, равное N, будет

N = n + m,

а число уравнений остается прежним, равным m.

очевидно, что N = n + m > m, и система имеет бесчисленное множество решений. значит, если ограничениями являются неравенства, то система всегда имеет бесчисленное множество решений.

таким образом, условие n > m — это непременное требование для задач оптимизации. заметим, что такую систему уравнений, для которых n = m, можно рассматривать как задачу оптимизации, имеющую одно допустимое решение, и решать ее как обычную задачу оптимизации, назначая в качестве целевой функции любую переменную.

итак, мы знаем, что система ограничений при n > m имеет бесчисленное множество решений. что же делать дальше? чтобы из всех возможных решений выбрать только одно, необходимо договориться, по какому признаку мы это будем делать. естественно, хочется, чтобы выбранное решение оказалось правильным. но что такое правильное решение? сказать, что решение правильное или неправильное — это значит дать оценку, которая может оказаться весьма субъективной. поэтому в дальнейшем не будем говорить о правильных решениях, потому что мы просто не знаем, что это такое. наш разговор будет об оптимальных решениях. что же касается оптимального решения, название которого происходит от лат. optimus (наилучший), то здесь все четко и определенно.

оптимальное решение — это наилучшее. но решения, наилучшего во всех смыслах, быть не может. оно может быть наилучшим, т. е. оптимальным, только в одном, строго установ­ленном смысле.

принимающий решение должен абсолютно точно представлять, в чем заключается оптимальность решения, т. е. по какому критерию (от греч. kriterion — мерило, оценка, средство для суждения) принимаемое решение должно быть оптимально.

критерий часто называют, и мы уже называли, целевой функцией. критерий выбирается тем человеком, кто принимает решение. в общем случае с помощью критерия можно оценивать качества как желательные (например, прибыль, производительность, надежность), так и нежелательные (затраты, расход материала, простои оборудования). тогда в первом случае стремятся к максимизации критерия, а во втором — к его минимизации.

так, если при принятии решения требуется максимизировать какую-то величину, например, прибыль, производительность или надежность, то в этом случае для оптимального решения критерий будет иметь самое большое значение из всех допустимых. если же требуется минимизация критерия (затраты, расход материала, простой оборудования), то для оптимального решения критерий будет иметь самое меньшее значение из всех допустимых.

стремление к оптимизации — это естественное состояние человека. человек по своей природе является прирожденным оптимизатором. он занимается оптимизацией, потому что ему необходимо экономить свои ограниченные запасы энергии, ресурсов, времени. каждый шаг человека, каждое принимаемое им решение — это зачастую неосознанное действие для того, чтобы получить оптимальный результат. и не случайно это естественное поведение человека нашло отражение в пословицах "рыба ищет, где глубже, а человек — где лучше", что соответствует задаче максимизации, и "из двух зол выбирают меньшее" — задаче минимизации.

итак, задача имеет оптимальное решение, если она удовлетворяет двум требованиям:

• есть реальная возможность иметь более одного решения, т. е. существуют допустимые решения;

• имеется критерий, показывающий, в каком смысле принимаемое решение должно быть оптимальным, т. е. наилучшим из допустимых.

по сути дела, задачи оптимизации вокруг нас. чтобы в них разобраться, необходимо прежде всего их систематизировать. этим мы и займемся в следующем разделе.