3.2. Принципи розрахунку, покладені в основу обчислювальних комплексів

Розрахункова схема методу скінченних елементів

Розрахунковий аналіз будь-якої конструкції починається зі спроби встано­вити, що саме в цьому випадку є суттєвим, а чим можна знехтувати. Такого роду спрощення задачі здійснюється завжди, оскільки виконання розрахунку з урахуванням всіх властивостей реальної конструкції можливе лише з пев­ним ступенем наближення.

Реальна конструкція, звільнена від усіх несуттєвих особливостей і пред­ставлена у зв'язку з цим у певній ідеалізованій формі, має назву розрахункової схеми. Деякі методи схематизації здобули велике поширення і мають спіль­ний характер (ідеалізація матеріалу у вигляді суцільного середовища, припу­щення про однорідність матеріалу, приведення геометричної форми тіла до таких стандартних схем, як стрижні, пластини чи оболонки, схематизація зовнішніх сил і т. ін.). Інші методи схематизації цілком конкретні і пов'язу­ються з кожною розглядуваною задачею. Проте в усіх випадках вибір розрахун­кової схеми становить найважливіший елемент аналізу, одну з найхарактер­ніших рис інженерного мистецтва (саме мистецтва, а не наукового аналізу!) і характеризує рівень професійної майстерності інженера.

Як і будь-якого іншого виду мистецтва, мистецтва вибору розрахункових схем можна навчити лише в процесі практичної роботи. Тому далі цій пробле­мі ми не приділятимемо уваги. Проте після того, як розрахункова схема (мож­ливо, лише в загальних рисах) встановлена, настає етап її детального опису у формі, придатній для виконання розрахункового аналізу, і цьому етапу далі даються конкретні рекомендації.

Щодо загальних відомостей, то слід мати на увазі, що на початкових стадіях створення розрахункової схеми варто прийняти рішення про те, як буде викону­ватися розрахунок: як лінійний чи як нелінійний, чи слід враховувати сили інерції і виконувати динамічний розрахунок або можна обмежитися статичним аналізом.

Про очікувану поведінку конструкції судять на підставі накопиченого досві­ду та інженерної інтуїції, і тому всі прийняті рішення підлягають апостеріор­ній оцінці. Якщо в усіх розв'язуваних рівняннях, що описують поведінку сис­теми, можна проігнорувати змінні за часом, то йдеться про статичну задачу, а отже, про аналіз нерухомої системи. У задачах динаміки, коли істотну роль відіграють сили інерції, пропорційні прискоренням мас, і в задачах повзучості, коли враховуються швидкості, мова повинна йти про аналіз рухомої системи.

Нелінійні задачі можуть бути пов'язані з ефектами, що виникають при міні геометрії системи під навантаженням (геометрична нелінійність), відсутності пропорційності між напруженнями та деформаціями (фізична нелінійність), можливому включенні й виключенні з роботи односторонніх в'язей при дії навантаження на систему (конструктивна нелінійність) чи з ефектами, які визначаються змінністю структури системи у процесі її створення (генетична нелінійність).

Усі ці особливості очікуваної поведінки конструкції позначаються на виборі розрахункової схеми, наприклад, при визначенні ступенів свободи або при схематизації навантажень, що діють на систему.

Теоретичну основу комплексів SCAD і ЛИРА становить метод скінченних елементів (МСЕ) у формі методу переміщень. Вибір саме цієї форми пояснюється простотою алгоритмізації та фізичної інтерпретації, можливістю створення єдиних методів побудови матриць жорсткості та векторів навантажень для різних типів скінченних елементів, можливістю врахування довільних граничних умов і складної геометрії розраховуваної конструкції. Особливо серйозним є питання про розбиття системи на скінченні елементи, тобто на стандартні частини, з яких (і лише з них!) повинна складатися вся система.

Надто дрібне дроблення призводить до збільшення часу розрахунку і пов'язане із запитом на використання великих ресурсів пам'яті комп'ютера для зберігання й обробки даних. Можуть при цьому проявлятися й ефекти нестійкості самого процесу розрахунку. Надто грубе дроблення може призвести до втрати точності результатів, особливо в тих випадках, коли розрахову­ються пластинчасті або оболонкові конструкції.

Загальних рекомендацій стосовно вибору оптимального рівня дроблення системи на скінченні елементи не існує. Тут доводиться покладатися, головним чином, на досвід та результати певних контрольних розрахунків, виконуваних для однієї й тієї ж конструкції при різних схемах розбиття на скінченні елементи. Можуть бути рекомендовані прийоми послідовної серії розрахунків певних фрагментів системи із введенням на цих фрагментах більш детального розбиття на скінченні елементи.

Тип скінченного елемента

Оскільки в основу використовуваних алгоритмів покладено метод переміщень, то ідеалізація конструкції повинна бути виконана у формі, пристосо­ваній до використання цього методу. При цьому система має бути представлена у вигляді набору тіл стандартного типу (стрижнів, пластин, оболонок і т. ін.), які називають скінченними елементами і які приєднані до вузлових точок.

Тип скінченного елемента визначається:

• його геометричною формою;

• набором вузлів, якими можуть бути точки, що лежать як у вершинах геометричних фігур, так і на їхніх сторонах, ребрах, поверхнях;

• правилами, що визначають залежність між переміщеннями вузлів скінченного елемента та вузлами системи — вузли елемента можуть бути прикріплені до вузлів системи жорстко (повний збіг усіх переміщень), шарнірно і т. п.;

• фізичним законом, який визначає залежність між внутрішніми зусиллями та внутрішніми переміщеннями і набором параметрів (жорсткостей), що входять до опису цього закону;

• вибором системи внутрішніх переміщень (деформацій) і відповідних їм внутрішніх зусиль (напружень), які характеризують напружено-деформований стан елемента;

• вибором апроксимуючих (базисних, координатних) функцій, за допо­могою яких переміщення довільної точки скінченного елемента однозначно визначаються через переміщення його вузлів;

• набором навантажень і впливів, які можуть бути прикладені безпосе­редньо до скінченного елемента, і способами їхнього задания;

• наявністю чи відсутністю правил дроблення елемента на більш дрібні частини при деталізації опису його напружено-деформованого стану або при уточненні місць прикладення навантажень і впливів;

• іншими, більш специфічними умовами (можливістю використання тільки в системах певного типу, обмеженнями на орієнтацію відносно системи ко­ординат та ін.).

У методі переміщень елементи системи вважаються приєднаними тільки до вузлів розрахункової схеми. Такий підхід є наближеним, оскільки, приводячи еквівалентні зусилля до вузлів, умови рівноваги скінченних елементів деяких типів (наприклад, пластин та оболонок) можна виконати тільки інте­грально. На міжелементних межах нестрижневих елементів мисляться мож­ливі розрізи, що змушує звертати увагу на так звану властивість сумісності елементів. Сумісні елементи гарантують збіг переміщень та їхніх необхідних похідних для точок, розташованих на протилежних берегах розрізу. Для не­сумісних елементів виникає необхідність виконання додаткових умов, які компенсують можливі розходження берегів розрізу.

Слід зазначити, що всі представлені в бібліотеці комплексів SCAD і ЛІРА елемен­ти або є сумісними, або для них гарантується виконання додаткових умов компенсації несумісності.

Припускається, що вся розрахункова схема складається тільки з елементів заздалегідь визначеного типу. Список типів елементів, якими оперує обчис­лювальний комплекс, може видозмінюватися та поповнюватися, проте кож­ній його конкретній версії відповідає певний набір елементів — бібліотека скінченних елементів (БСЕ), з якої і вибираються "елементарні частинки" для формування розрахункових схем.

Нарешті, слід зауважити, що всі вузли та елементи розрахункової схеми нумеруються. Номери, присвоєні їм, слід трактувати тільки як імена, які дозволяють робити необхідні посилання. Наприклад, можна вказати вузол, де прикладене певне навантаження, перелічити вузли, до яких приєднаний цілком конкретний елемент, скласти список елементів, прилеглих до певного вузла (це буде т. зв. "зірка елементів" у вузлі), або входять до певної, при­значеної нами групи. Жодних інших функцій нумерація не виконує, і вона майже не впливає на час розв'язання задачі завдяки наявній у комплексі можливості оптимізації профілю матриці жорсткості. Проте видача результа­тів розрахунку частіше за все здійснюється за порядком нумерації вузлів (пере­міщення) або елементів (внутрішні зусилля), тому говорити про повну незалеж­ність від нумерації все ж не доводиться.

Невідомі

Вузол у розрахунковій схемі методу переміщень представляється у вигля­ді абсолютно жорсткого тіла зникаюче малих розмірів. Положення вузла у просторі при деформаціях системи визначається координатами центра і напрямками трьох осей, жорстко пов'язаних з вузлом. Іншими словами, вузол представляється як об'єкт, який має шість ступенів свободи — три лінійних зміщення, що їх визначають як різниці координат у деформовано­му та недеформованому станах, і три кути повороту відносно цих осей.

Основна система методу переміщень вибирається, зазвичай, шляхом на­кладання в кожному вузлі всіх в'язей, які забороняють будь-які вузлові пе­реміщення. Умови рівності нулю зусиль у цих в'язях становлять розв'язувальні рівняння рівноваги, а зміщення вказаних в'язей — основні невідомі методу переміщень.

У звичайних просторових конструкціях у вузлі можуть бути присутні всі шість зміщень:

1. — лінійне переміщення по осі X;

2. — те саме по осі Y;

3. — те саме по осі Z;

4. — кут повороту з вектором по осі X (поворот навколо осі X);

5. — те саме по осі Y (поворот навколо осі Y);

6. — те саме по осі Z (поворот навколо осі Z).

Нумерація зміщень (ступенів свободи), подана вище, використовується далі всюди без спеціальних застережень, а в документації також використо­вуються, відповідно, символи X, Y, Z, UX, UY та UZ для позначення вели­чин відповідних лінійних переміщень та кутів повороту.

Якщо в певному вузлі якесь із переміщень не впливає на напружений стан всіх елементів, прилеглих до цього вузла (наприклад, повороти вузла, до якого прилягають тільки стрижні з шарнірами на кінцях, як це буває при розрахунку ферм), то відповідне переміщення не входить до числа основних невідомих.

Може виявитися, що вся система має такі властивості, і в кожному її вузлі присутній один і той же скорочений набір невідомих переміщень або, точні­ше, — деякі з переміщень не присутні серед ступенів свободи жодного з вузлів системи. Тоді можна цю властивість системи (ознаку системи) спеціа­льно позначити, і надалі принципово не оперувати з деякими переміщення­ми. Ось кілька прикладів:

• плоска ферма, розміщена в площині XOZ — можна вказати, що свідомо не розглядаються переміщення вздовж осі Y і всі кути повороту (UX, UY, UZ);

• плита в площині XOY — виключаються переміщення вздовж осей X та Y і кут повороту UZ.

Зовнішні та внутрішні в'язі

Через особливості конструктивного рішення на деякі з вузлових перемі­щень можуть бути накладені обмеження (в'язі). Кажуть, що на систему накла­дена монов'язь, якщо вона забороняє одну з компонент вузлового переміщення (наприклад, X = 0 чи UY = 0). Якщо ж через накладену на систему в'язь анулюється певна лінійна комбінація компонент вузлових переміщень, то ка­жуть про полів'язь. Монов'язь завжди є зовнішньою в'яззю, оскільки вона ніби ззовні системи обмежує її переміщення. Полів'язь, накладена на компоненти вузлових переміщень одного й того ж вузла, також є зовнішньою, тільки напря­мок забороненого переміщення не збігається з осями координат, а саму таку в'язь орієнтовано під певним кутом (наприклад, полів'язь Xcoscp + Ysincp = 0 орієнтована під кутом j до координатної осі X). Інші полів'язі, де фігурують компоненти переміщень різних вузлів, є внутрішніми і найчастіше зумовлені наявністю в системі (в її розрахунковій схемі) абсолютно жорстких елементів.

Певну небезпеку при створенні розрахункової схеми становить пропуск в'язі, тобто відсутність заборони на переміщення, яка призводить до появи геометричної змінюваності. У комплексах SCAD і ЛІРА в процесі розрахунку здійс­нюється контроль геометричної змінюваності і, в разі її виявлення, викону­ється коригування схеми шляхом накладання додаткових в'язей. Проте ко­ристувач завжди повинен пам'ятати про те, що змінюваність може бути нас­лідком його недогляду і уважно оцінювати "послугу" системи з виправлення виявленої помилки. Зокрема, таке коригування справедливе лише тоді, коли реакції в автоматично встановлених додаткових в'язях дорівнюють нулю, і в напрямку даного зміщення не діє навантаження.

Умови сполучення елементів із вузлами системи

Вузли елементів, кінцеві перерізи яких прилягають до вузлів системи, мо­жуть розташовуватися геометрично на певній відстані від центра вузла схе­ми, тобто може мати місце ексцентриситет прилягання. Будемо вважати, що для тих типів елементів, де такий ексцентриситет допустимий, вузол елемента (кінцевий переріз) з'єднаний із центром вузла схеми нескінченно жорсткою вставкою, і ця вставка є частиною скінченного елемента.

Зрозуміло, що за наявності згаданої нескінченно жорсткої вставки перемі­щення кінцевого перерізу елемента не дорівнює переміщенню вузла схеми (воно залежить також і від вузлових поворотів), а кути поворота вузла і кінце­вого перерізу збігаються.

Незбіг переміщень (поворотів) вузла і пов'язаного з вузлом схеми кінцево­го перерізу елемента може мати місце і через особливості конструкції приля­гання. Якщо вважати, що елементи можуть бути прикріплені своїми вузлами до центрів вузлів схеми шістьма в'язями, кожна з яких перешкоджає одному з шести можливих взаємних переміщень, то можна уявити собі і відсутність будь-якої з цих шести в'язей. Відсутність однієї в'язі між кутовими перемі­щеннями відповідає циліндричному шарніру, відсутність трьох в'язей для всіх взаємних кутових переміщень — сферичному шарніру, відсутність в'язі між лінійними зміщеннями — "повзуну" і т. п. Для стислості надалі всі такі випадки називаємо "шарнірами", хоча тут є і певна неточність. Необхідно відзначити, що використання різних типів сполучень елементів із вузлами та в'язей, які накладаються на вузлові переміщення, дозволяє урізноманітнюва­ти опис розрахункової схеми.

Навантаження і впливи

Взаємодію системи з довкіллям представляють, зазвичай, у вигляді наванта­жень або впливів, прикладених до вузлів системи (вузлових навантажень) чи до внутрішніх точок її скінченних елементів (місцевих навантажень). Місцеві наван­таження можуть бути силами та моментами, зосередженими або розподіленими по лініях, площах та об'ємах. Інколи завантаження системи подається у формі температурних впливів на елементи або заданими зміщеннями у вузлах, тобто ці впливи проявляються не як силові, а як кінематичні фактори.

Якщо впливи змінюються в часі, то викликані ними прискорення мас системи призводять до появи інерційних сил. У тих випадках, коли силами інерції знехту­вати неможливо, кажуть про динамічний характер впливу, але завжди слід па­м'ятати, що віднесення впливів до виду статичних або динамічних пов'язане не тільки з їхніми властивостями, але й з інерційними характеристиками системи.

У практиці проектування використовуються нормативні та розрахункові зна­чення навантажень. Перехід від одних до других виконується за допомогою коефіцієнта надійності з навантаження. Взагалі нормативні та розрахункові зна­чення використовуються у розрахунках різного роду: нормативні — для перевір­ки другого граничного стану, розрахункові — для перевірки першого гранично­го стану. У комплексі SCAD за умовчанням припускається, що навантаження задаються своїми розрахунковими значеннями.

Сукупність навантажень та впливів, одночасно прикладених до системи і роз­глядуваних сумісно, називають її завантаженням. Іноді до одного завантаження відносять лише ту частину одночасно прикладених навантажень, яка пов'язана спільним походженням (наприклад, тільки сили тиску коліс одного мостового крана або навантаження від снігу на покриття лише в одному прогоні багатопролітної будівлі) або ж має якісь інші спільні властивості (наприклад, встановлений нормами коефіцієнт надійності з навантаження). Якщо згодом виникає необхід­ність врахування ефекту сумісної дії кількох завантажень такого роду (суми заван­тажень, взятих із певними коефіцієнтами), то кажуть про комбінацію завантажень і, відповідно, про коефіцієнти такої комбінації.

Оскільки завантаження можуть у різні моменти часу утворювати різні комбіна­ції, і можлива кількість таких комбінацій (сполучень) досить велика, то постає нетривіальна задача відшукання таких сполучень зовнішніх впливів, які призво­дять до найбільш небажаних наслідив для певного обстежуваного елемента або його перерізу. У цьому випадку маємо на увазі відшукання розрахункового сполу­чення зусиль (РСЗ). Розв'язуючи цю задачу, слід пам'ятати про логічний зв'язок між завантаженнями, визначеними природою навантажень, що діють на систему, або ж вказівками нормативних документів. Такі логічні зв'язки інколи визначають неможливість одночасної дії (несумісність) деяких навантажень, таких, наприклад, як вітровий напір від вітрів різного напрямку. В інших випадках, навпаки, потрібне обов'язкове врахування якогось завантаження при розгляді іншого завантаження (наприклад, сила тертя можлива лише при одночасному врахуванні ще й сили нормального тиску), хоча зворотний зв'язок такого роду може й бути відсутнім (нормальний тиск за відсутності тертя цілком можна розглядати самостійно).