1.3. Дифференциальные уравнения конвективного теплообмена в безразмерном виде

Для того чтобы выяснить условия подобия процессов конвективного теплообмена приведем дифференциальные уравнения конвективного теплообмена к безразмерному виду.

В качестве примера рассмотрим стационарный конвективный теплообмен вязкой жидкости, движущейся с умеренной скоростью и имеющей неизменные физические характеристики (ρ = const, μ = const, λ = const). Внутренние источники теплоты в движущейся жидкости отсутствуют. Температура и скорость невозмущенного (набегающего) потока соответственно равны Т₀ и V₀. Поверхность теплообмена имеет постоянную равномерно распределенную температуру T_c. Ее характерный линейный размер l₀.

Для рассматриваемой задачи дифференциальные уравнения конвективного теплообмена и уравнение теплоотдачи имеют вид

(1.144)

. (1.145)

Граничные условия задачи:

в области невозмущенного потока

. (1.146)

на поверхности теплообмена

. (1.147)

Для приведения уравнений к безразмерному виду используем метод масштабных преобразований. В качестве масштаба длин выберем характерный для исследуемого явления линейный размер l₀, скоростей – характерную скорость V₀, массовых сил, отнесенных к единице массы – ускорение силы тяжести, температуры – избыточную температуру невозмущенного (набегающего) потока Выразим величины, входящие в рассматриваемые уравнения, в принятых масштабах. Они примут безразмерный вид. Обозначим безразмерные величины теми же буквами, что и размерные, но с черточкой сверху. Тогда можем записать

(1.148)

Уравнения Навье-Стокса после подстановки в них полученных соотношений и элементарных преобразований принимают вид

(1.149)

Используя общепринятые обозначения для безразмерных комплексов, полученные безразмерные уравнения (1.149) можно записать в виде

(1.150)

где

– число Фруда (Froud number);

– число Эйлера (Euler number);

– число Рейнольдса (Reynolds number).

Заметим, что аналогичным образом можно привести к безразмерному виду и уравнения (1.70), (1.71). Так, если ось x считать совпадающей по направлению с , то для стационарных условий уравнение (1.67) можно записать следующим образом:

(1.151)

где

– число Грасгофа (Grashof number);

– безразмерное давление.

Уравнение теплоотдачи после подстановки в него размерных величин, выраженных через безразмерные и принятые масштабы, принимает вид

. (1.152)

Произведя перегруппировку членов уравнения (1.152), представляем его так

. (1.153)

Безразмерный комплекс, стоящий в левой части уравнения (1.153)

– число Нуссельта (Nusselt number).

Поэтому уравнение теплоотдачи окончательно в безразмерном виде можем записать следующим образом:

(1.154)

Аналогично к безразмерному виду приведем уравнение энергии, которое в результате примет вид

(1.155)

или

(1.156)

Безразмерный комплекс

– число Пекле (Peclet number).

Окончательно уравнение энергии в безразмерном виде для рассматриваемого случая имеет вид

(1.157)

Таким образом, система дифференциальных уравнений конвективного теплообмена и теплоотдачи в безразмерном виде может быть представлена так

(1.158)

(1.159)

В векторном виде эта система уравнений запишется следующим образом:

(1.160)

Как и раньше черточка над величиной показывает, что она безразмерная, стрелка показывает, что она векторная.

Граничные условия задачи также должны быть приведены к безразмерному виду. В рассматриваемом случае в безразмерном виде граничные условия имеют следующий вид:

в области невозмущенного потока

(1.161)

на поверхности теплообмена

(1.162)

Анализ полученной системы дифференциальных уравнений конвективного теплообмена и теплоотдачи в безразмерном виде показывает, что явления или процессы конвективного теплообмена будут подобны, если они описываются одной и той же системой дифференциальных уравнений, имеют подобные условия однозначности и численно одинаковые критерии подобия.

Fr = idem;

Re = idem;

Pe = idem.

К безразмерному виду могут быть приведены и уравнения, описывающие стационарное течение вязкой жидкости, находящейся под воздействием одновременно гравитационных и центростремительных массовых сил, в системе координат, вращающейся с постоянной угловой скоростью ω.

Используем в качестве масштабных характерные величины системы: l₀ – линейный размер; V₀ – скорость; ω₀ – угловую скорость.

Тогда

; (1.163)

, (1.164)

где - число Росби; - число Фруда; - число Грасгофа; - орт угловой скорости вращения; - орт ускорения силы тяжести; - центростремительное ускорение.

Для течения жидкости в трубах характерным линейным размером l₀ является диаметр трубы , характерной скоростью - средняя скорость течения жидкости в трубе , характерной угловой скоростью – угловая скорость вращения трубы .

Второй член в левой части уравнения (1.147) учитывает влияние кориолисова ускорения. Его величина по сравнению с инерционными членами оценивается по значению числа Росби.

Безразмерный комплекс Ro – число Росби (Rosby number):

(1.165)

По физическому смыслу число Росби^*, являющееся числом подобия, можно определить как отношение конвективного ускорения к ускорению Кориолиса^**, которое равно .

Влияние сил Кориолиса на вынужденное течение жидкости во вращающихся каналах будет существенным при его сравнительно малой интенсивности и значении числа Росби .

Член в правой части уравнения (1.163) характеризует вклад центростремительного ускорения.

При величине центростремительного ускорения, намного превышающей значение ускорения силы тяжести, уравнение (1.163) целесообразно записать в виде

(1.166)

где - «вращательное» число Грасгофа,

; (1.167)

- «вращательное» число Фруда,

. (1.168)

Из уравнений (1.163), (1.167) видно, что характер течения жидкости во вращающейся системе в общем случае определяется критериями Fr, Re, Gr, Ro или , Re, , Ro.