7 Пояснения по выполнению контрольной работы

При решении задачи 1 необходимо руководствоваться следующим алго­ритмом решения, приведенным ниже.

Для нахождения параметров а и b парной линейной регрессии у=а+bх ис­пользуют метод наименьших квадратов (МНК), который заключается в реше­нии системы нормальных уравнений относительно а и b:

(1)

Для нахождения параметров а и b необходимо воспользоваться следую­щими формулами:

b= , (2) где = - (3)

a=ӯ-b . (4)

А также произвести вспомогательные расчеты в таблице 5.

Таблица 5 – Вспомогательные расчеты

№ предприятия	х	у	х∙у	х2	у2
1	?	?	?	?	?
2	?	?	?	?	?
3	?	?	?	?	?
4	?	?	?	?	?
5	?	?	?	?	?
6	?	?	?	?	?
7	?	?	?	?	?
8	?	?	?	?	?
9	?	?	?	?	?
10	?	?	?	?	?
11	?	?	?	?	?
12	?	?	?	?	?
∑	?	?	?	?	?
Среднее значение	?	?	?	?	?

Уравнение регрессии всегда дополняется расчетом показателя тесноты связи. В линейных регрессиях в качестве такого показателя выступает линей­ный коэффициент корреляции, который рассчитывается по формуле:

=b = , (5)

где , σ_y= . (6)

Если коэффициент регрессии b 0, то 0≤ ≤1, и, наоборот, при b<0 -1≤ ≤0.

Для оценки качества подбора линейной функции рассчитывается квадрат линейного коэффициента корреляции, который называется коэффициентом детерминации, характеризующим долю дисперсии результативного признака у, объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака.

Чем больше доля объясненной вариации, тем меньше роль прочих факто­ров, и, следовательно, линейная модель хорошо аппроксимирует исходные данные. И соответственно ею можно воспользоваться для прогноза значений результативного признака. Чем ближе коэффициент детерминации к 1, тем в большей степени уравнение регрессии пригодно для прогнозирования.

Для того, чтобы иметь общее представление о качестве модели из относи­тельных отклонений по каждому наблюдению, находят среднюю ошибку ап­проксимации как среднюю арифметическую простую:

= . (7)

Ошибка аппроксимации, находящаяся в пределах 5-7 %, свидетельствует о хорошем подборе модели к исходным данным.

В линейной регрессии оценивается значимость не только уравнения в це­лом, но и отдельных его параметров.

Для этого по каждому из параметров определяется его стандартная ошибка, а также и для коэффициента корреляции: s_a и s_b, s_r.

Стандартные ошибки коэффициентов регрессии (s_a, s_b) и коэффициента корреляции s_r определяются соотношениями:

s_b= = = . (8)

s_a= = =s_ост , (9)

где s²_ост - несмещенная оценка остаточной дисперсии.

s²_ост= . (10)

s_r= . (11)

Отношение коэффициента регрессии к его стандартной ошибке дает t-статистику при (n-2) степенях свободы, которую используют для проверки ста­тистической значимости коэффициента регрессии и для расчета его довери­тельных интервалов.

Для оценки значимости коэффициента регрессии его величину сравни­вают с его стандартной ошибкой, таким образом, определяя расчетное значение t-крите­рия Стьюдента:

t_a= , (12)

t_b= , (13)

t_r= , (14)

которое затем сравнивают с табличным значением (приложение Б) при опреде­ленном уровне значимости α и числе степеней свободы df=n-2.

Для расчета доверительных интервалов для параметров а и b необходимо определить предельную ошибку для каждого параметра:

Δ_а=t_т∙s_a, Δ_b= t_т∙s_b. (15)

Доверительные интервалы имеют вид:

γ_a=a Δ_a, (16)

γ_b=b Δ_b. (17)

Анализ верхних и нижних границ доверительного интервала позволяет сделать вывод о том, что с вероятностью р=1-α параметры и b принимают или не принимают нулевых значений, и, соответственно, не являются или являются статистически незначимыми.

Полученные оценки уравнения регрессии используются для его прогноза.

Подставляя прогнозное значение в полученное уравнение регрессии, находим точечный прогноз.

Чтобы получить интервальный прогноз, необходимо рассчитать стан­дартную ошибку предсказываемого значения исследуемого показателя m_yp:

m_yp=S_ост (18)

Предельная ошибка прогнозируемой величины рассчитывается как

Δу_р=t_а∙m_yp. (19)

Доверительный интервал прогнозируемой величины составит

у_р=у_р Δу_р. (20)

При решении задачи 2 необходимо производить расчеты в следующей последовательности.

Первоначально по элементам динамического ряда строится график для исследования характера варьирования показателя во времени.

Если графическое построение не дает возможности однозначно устано­вить закономерность изменения признака, то на следующем этапе расчетов применяют различные статистические методы обработки данных (сглаживание по скользящей средней, определение последовательных разностей и др.), поз­воляющие упростить конфигурацию исходной кривой.

Цель сглаживания временного ряда заключается в получении ряда с меньшим разбросом уровней, что в ряде случаев позволяет на основе визуаль­ного анализа сделать вывод о наличии тенденции, ее характерных особенностях и модели развития явления

Сглаживание временного ряда по методу простой скользящей средней заключается в замене исходных уровней ряда y_t сглаженными значениями y′_t, которые получаются как среднее значение определенного числа уровней ис­ходного ряда, симметрично окружающих значение y_t.

В результате получается временной ряд y′_t, меньше подверженный коле­баниям.

Для вычисления сглаженных значений y′_t по методу простой скользящей средней используются следующие формулы:

1. Нечетный интервал сглаживания (интервал сглаживания - количество исходных уровней ряда (y_t), используемых для сглаживания):

= = , (21)

где у_t - фактическое значение уровня исходного ряда в момент t;

y′_t - значение скользящей средней в момент t;

(2р+1) - длина интервала сглаживания.

Формула (20) при интервалах сглаживания, равных трем и пяти соответ­ственно, принимает вид:

= , (22)

= . (23)

2. Четный интервал сглаживания:

= (24)

Для задачи 2 необходимо использовать трехлетние скользящие средние.

Результаты расчета сводим в таблицу 6.

Таблица 6 - Результаты расчета трехлетних скользящих средних

Временные отрезки об­ласти исследования, t	Потребление овощей по области, yt	Скользящие трехлетние суммы, ∑уt	Скользящие трехлетние средние
1	?	-	-
2	?	?	?
3	?	?	?
4	?	?	?
5	?	?	?
6	?	?	?
7	?	?	?
8	?	?	?
9	?	-	-

Затем строится график анализируемого показателя на основании рассчи­танных значений трехлетних скользящих средних (по оси ординат отмечаем временные промежутки, по оси абсцисс – анализируемый показатель).

Далее, исходя из теоретических соображений, выявляется форма зависи­мости анализируемого показателя и общий вид модели – тренд (ŷ_t=f(t)).

Для расчета параметров выбранного вида модели воспользуемся методом наименьших квадратов, суть которого заключается в построении и решении системы нормальных уравнений.

Система нормальных уравнений имеет вид:

(25)

Чтобы решить данную систему производятся вспомогательные расчеты в таблице 7.

Таблица 7 – Вспомогательные расчеты

	t	yt	yt∙t	t2	ŷt
	1	2	3	4	5
	1	?	?	?	?
	2	?	?	?	?
	3	?	?	?	?
	4	?	?	?	?
	5	?	?	?	?
	6	?	?	?	?
	7	?	?	?	?
	8	?	?	?	?
	9	?	?	?	?
∑	?	?	?	?	?

Для оценки правильности выбора аналитической зависимости использу­ется показатель F-критерий Фишера, основанный на применении методов дис­персионного анализа, позволяющих установить связь между явлениями по ре­зультатам изучения их вариации.

Расчетное значение F-критерия Фишера определяется по следующей формуле:

F_р=D_t²/D_ост², (26)

где D_t² – факториальная дисперсия, измеряющая вариацию зависимой переменной у_t за счет изменения t;

D_ост² – остаточная дисперсия, характеризующая отклонения между исходными и расчетными значениями переменной у_t;

где D_t²= , (27)

D_ост²= , (28)

где – среднее арифметическое значение признака;

N – число параметров выбранной модели;

n – число временных отрезков исследования;

(N-1), (n-N) – число степеней свободы.

Для вычисления F-критерия произведем вспомогательные расчеты, которые сведем в таблицу 8.

Таблица 8 – Вспомогательные расчеты

t	yt	ŷt		(yt-ŷt)
1	?	?	?	?	?	?	?
2	?	?	?	?	?	?	?
3	?	?	?	?	?	?	?
4	?	?	?	?	?	?	?
5	?	?	?	?	?	?	?
6	?	?	?	?	?	?	?
7	?	?	?	?	?	?	?
8	?	?	?	?	?	?	?
9	?	?	?	?	?	?	?
∑	-	-	-	-	-	?	?
Примечание - ӯt – средняя арифметическая простая, которая рассчитывается по формуле: ӯt=

Правильность выбора уравнения тренда определяется путем сравнения F-критерия Фишера с табличными значениями данного показателя (приложение А). Табличное значение критерия устанавливается для k₁=N-1 и k₂=n-N степеней свободы. Если расчетное значение показателя окажется больше табличного (F_p>F_т), то уравнение тренда можно использовать для описания тенденции. Если же F_p<F_т, то вывод о применимости уравнения регрессии следует считать необоснованным.

Для определения статистической значимости параметров уравнения тренда необходимо рассчитать доверительную зону выборочной линии регрес­сии.

В связи с этим следует оценить значимость параметров а₀ и a₁, определив их случайные ошибки. Случайные ошибки параметров (а₀ и а₁) определяются по формулам:

=D_ост , (29)

= , (30)

D_ост= . (31)

Для того, чтобы установить, насколько велики расхождения между пара­метрами уравнений, а также оценки статистической значимости параметров выбранной модели, рассчитываем t-критерий Стьюдента.

Расчетные значения t-критерия определяется для каждого параметра:

= , (32)

где – i-е параметры модели;

– случайные ошибки i-х параметров.

Расчетные значения t_р сопоставляются с соответствующими табличными величинами t_т (приложение Б), найденными для k=n-2 степеней свободы и при­нятой доверительной вероятности 0,95 либо 0,99 (для задачи 2 использовать 0,99; т. е. α=0,01). Если t_р> t_т, то параметры уравнения регрессии считаются ста­тистически значимыми и могут применяться для отображения тенденции пере­менной у. Если же t_р< t_т, то возможность несовпадения закономерностей весьма велика.

Для того, чтобы построить доверительную зону исследуемого показателя в графической форме, необходимо для каждого значения t определить орди­наты точек на верхних и нижних граничных кривых (у_t^в, у_t^н), после чего точки соединяются плавными линиями.

ŷ_t^в(н)=ŷ_t Δt, (33)

где ŷ_t^в(н) – соответственно ординаты на верхних и нижних граничных кривых доверительной зоны;

ŷ_t – расчетное значение признака при вариации аргумента в рамках области исследования;

Δt – доверительные интервалы, которые определяются по следующей фор­муле

Δt=t_т∙D_ост , (34)

где t_т – табличное значение t-критерия Стьюдента.

Расчет ординат точек, расположенных на верхних и нижних граничных кривых, выполним в таблице 9.

Таблица 9 - Расчет ординат точек, расположенных на верхних и нижних граничных кривых

t	ŷt	Δtt	ytв	уtн
1	?	?	?	?
2	?	?	?	?
3	?	?	?	?
4	?	?	?	?
5	?	?	?	?
6	?	?	?	?
7	?	?	?	?
8	?	?	?	?
9	?	?	?	?

На основании расчетов строится линия регрессии (ŷ_t=а₀+а₁t) и довери­тельная зона линии регрессии.

Доверительные интервалы для индивидуальных значений признака определяются по следующим соотношениям, предварительно рассчитав на ука­занный момент времени и ∑t²:

₌ ŷ_t Δ′t, (35)

где Δ′t= t_т∙D_ост (36)