1.2. Линеаризация
Линеаризация— (от лат. Linearis— линейный) один из методов приближённого представления замкнутых нелинейных систем, при котором исследование нелинейной системы заменяется анализом линейной системы, в некотором смысле эквивалентной исходной. Методы линеаризации имеют ограниченный характер. Применяя линеаризацию, можно выяснить многие качественные и особенно количественные свойства нелинейной системы.
1.2.1. Линеаризация экспоненциальной зависимости
В ряде случаев в качестве эмпирической формулы берут функцию, в которую неопределённые коэффициенты входят нелинейно. При этом иногда задачу удается линеаризовать, то есть свести к линейной. К числу таких зависимостей относится экспоненциальная зависимость
(6)
где
и
– неопределенные коэффициенты.
Линеаризация достигается путем логарифмирования равенства (6), после чего получаем соотношение
(7)
Обозначим
и
соответственно через
и
,
тогда зависимость (6) может быть записана
в виде
,
что позволяет применить (4) с заменой
на
и
на
,
то есть
Решив
систему (8) найдем
и
.
Зная
,
из соотношения
,
найдем
.
1.2.2. Линеаризация логарифмической зависимости
(9)
Положим,
,
тогда зависимость(9) может быть записана
в виде
,
что позволяет применить формулы (4) с
заменой
на
,
то есть
1.2.3. Линеаризация степенной зависимости
(11)
Линеаризация достигается путем логарифмирования равенства
.
(12)
Положим
,
,
,
тогда зависимость (12) может быть записана
в виде
,
что позволяет применить формулы (4) с
заменой
,
на
,
на
,
то есть
Решив
систему (13), найдем
и
.
Зная
,
из соотношения
,
найдем
,
.
2. Элементы теории корреляции
График
восстановленной функциональной
зависимости
по результатам измерений
,
называется кривой регрессии. Для
проверки согласия построенной кривой
регрессии с результатами эксперимента
обычно вводят следующие числовые
характеристики: коэффициент корреляции
(линейная зависимость), корреляционное
отношение и коэффициент детерминированности.
При этом результаты обычно группируют
и представляют в форме корреляционной
таблицы. В каждой клетке этой таблицы
приводятся численности
тех пар (x, y),
компоненты которых попадают в
соответствующие интервалы группировки
по каждой переменной. Предполагая длины
интервалов группировки (по каждой
переменной) равными между собой, выбирают
центры
соответственно
этих
интервалов и числа
в качестве основы для расчетов.
Коэффициент корреляции является мерой линейной связи между зависимыми случайными величинами: он показывает, насколько хорошо в среднем может быть представлена одна из величин в виде линейной функции от другой.
Коэффициент
корреляции Пирсона будем обозначать
,
он рассчитывается по формуле
,
(14)
где
наблюдения, элементы выборки,
,
,
- средние значения;
–
число наблюдений. Заметим, что формула
(14) задает эмпирическую версию коэффициента,
которая является оценкой теоретического
значения.
Напомним математические свойства коэффициента корреляции:
1.
2.
Если
и
независимые переменные, то
.
3.
Если
и
связаны линейной зависимостью, то есть
найдутся
и
такие, что
,
то
.
При этом знак в правой части последнего
равенства совпадает со знаком
.
4. Если , то и связаны линейной зависимостью, то есть найдутся и такие, что . При этом знак в правой части последнего равенства совпадает со знаком .
5. Неверно, что если , то переменные и независимы. Важным исключением является случай, когда переменные и имеют нормальное распределение.
6. Величина коэффициента корреляции не изменится, если ко всем значениям переменной добавить одно и то же число, или если все значения переменной умножить на одно и то же число, отличное от нуля. Такое свойство называется инвариантностью относительно сдвига и масштаба. Коэффициент корреляции – безразмерная величина, то есть не зависит от единиц, в которых измерены переменные.
Принято считать, что чем ближе по модулю к 1, тем ближе связь между анализируемыми переменными к линейной. Если величина близка к -1, то связь обратная (c возрастанием переменной переменная убывает). Если величина близка к +1, то связь прямая (c возрастанием переменной переменная возрастает).
Приведем таблицу из книги А. Бююль, П. Цефель SPSS: искусство обработки информации.
Таблица 2.1