Предисловие

Различные элементы и узлы компьютера представляют собой цифро­вые автоматы, преобразующими информацию в соответствии с заданными алгоритмами, а тогда можно опи­сывать работу таких элемен­тов и узлов с помощью конечных математи­че­ских формул и осуще­ствлять необходимые преобразова­ния для получения наиболее простых, надежных и малога­ба­ритных структур. Элементы и узлы могут быть как автоматами с памятью, т. е. ав­томатами с хранением цифровой информа­ции, так и автома­тами без памяти, информация на выходах кото­рых фор­мируется только в за­висимо­сти от входной информации, подан­ной в рас­сматриваемый момент вре­мени. Автоматы с памятью во многих случаях являются более сложными и требуют для своего описания доста­точно сложного математического аппа­рата, но, в конечном итоге, их построение сводится к построению автома­тов без памяти, представляемых обычно в виде так называемых функцио­нальных или логических схем.

Алгоритм, реализуемый цифровым автоматом без памяти, опре­деля­ется, прежде всего, функциональным составом ав­томата и связями между его отдельными частями, т. е. его функциональной схемой. Если же задан ал­го­ритм, то функциональная схема автомата строится в соответствии с этим ал­горитмом. Пере­ход от заданного алгоритма или заданных условий ра­боты ав­томата к его функциональной схеме доста­точно просто осущест­вляется при использовании ап­парата алгебры логики — одной из состав­ных частей мате­матической логики. Этот аппарат обеспечивает поиск наиболее простых решений при по­строении эле­ментов и узлов. Широкое использова­ние алгебры логики в каче­стве теоретической основы по­строе­ния элементов и узлов вычислительных машин объясняется тем, что ее ис­ходные посылки, сводящиеся только к двойственному представ­лению зна­чений используемых понятий, согласуется с двоичным кодиро­ванием ин­формации основными принципами построения компьютеров.

Глава 1. Элементы алгебры логики

§ 1. Логические функции

Основным понятием алгебры логики является понятие высказыва­ния. Под высказыванием понимается предположение, относительно кото­рого имеет смысл утверждение о том, истинно оно или ложно. Считается, что высказывания удовлетворяют закону исключенного третьего, т. е. они не мо­гут быть одновременно и истинными, и ложными. По аналогии с по­нятием равенства в алгебре, в алгебре логики широко используется поня­тие эквива­лентности. Следует заметить, что значение истинности выска­зывания может быть переменным.

При логическом описании схем различных узлов компьютеров, зна­чения ис­тинности высказываний обозначают цифрами. Если высказыва­ние истинно, то его значение равно 1, если же высказывание ложно, то его значе­ние равно 0. Произвольное высказывание можно рассматривать как некото­рую переменную величину, принимаю­щую только два значения: 0 или 1. По­нятие произвольного вы­сказывания широко используется при построении различных схем компьютера, так как сигналы на входах и вы­ходах этих схем представляют, как правило, только один из двух ко­дов: 0 или 1. Поэтому при рассмотрении сложных логических зависимостей вме­сто термина «произ­вольное высказывание» (или «переменное выска­зыва­ние») часто пользуются термином «двоичная переменная» («логическая переменная»). При этом под двоичной переменной понимается произволь­ная величина, которая прини­мает только два значения: 0 или 1. Кроме по­стоянных, т. е. имеющих вполне определенное значе­ние истинности, и пе­ременных высказываний в алгебре логики рассматриваются еще простые и сложные высказывания.

Высказывание, значение истинности которого не зависит от зна­чений ис­тин­ности других высказываний, называют простым. При абстрагировании поня­тия высказывания, что обычно де­лается при рассмотрении конкрет­ных схем вычислительных машин, простое выска­зывание, являющееся произвольным, считается независимой двоич­ной, или логической, пере­менной.

Высказывание, значение истинности которого зависит от значений ис­тин­ности других составляющих его высказываний, называется слож­ным. Слож­ные высказывания в алгебре логики называют также форму­лами; при этом записывают их путем обозначения связей между отдель­ными исход­ными вы­сказываниями. Сложные высказывания подобно про­стым могут быть как по­стоянными, так и переменными. Если исходные высказывания яв­ляются пе­ременными, то и сложное высказывание, со­ставленное из них, как правило, также является переменным, принимая только два значения истинности: 0 или 1. Если задать определенные зна­чения истинности всем переменным ис­ходным высказываниям, то и пере­менное сложное выска­зывание, составлен­ное из них, при­нимает вполне определенное значение ис­тинности. Таким обра­зом, каждая формула, т. е. сложное переменное вы­сказывание, опре­деляет некоторую логическую функцию, аргументами которой являются перемен­ные исходные высказы­вания. Обычно перемен­ное высказывание представляют в виде считая символом логи­ческой функции. Функция явля­ется двоичной функцией, так как она принимает только два значения (0 или 1) и зависит от двоичных пере­менных. Количество значений двоичных функций и их аргументов огра­ничено, поэтому они описываются конеч­ными таблицами. Ниже рассмот­рим наиболее часто используемые при анализе и синтезе схем логические функции.