Вывод закона Ома и Джоуля-Ленца из электронной теории проводимости металлов

ВЫВОД ЗАКОНА ОМА

Рассмотрим участок металлического проводника длиной l и пло­щадью поперечного сечения S. По проводнику идет ток, вызванный электрическим полем напряженностью Е (рис. 3). Сила этого тока выражается формулой (1).

Определим среднюю скорость v электронов в токе через напряже­ние U, приложенное к участку l проводника. Движение электронов имеет характер свободных пробегов λ между последовательными столкновениями с ионами кристаллической решетки металла. В начале этого пробега (после столкновения с ионом) скорость электрона в токе равна нулю. Затем электрон движется под действием электрического поля равноускоренно и в конце пробега (перед столкновением со следующим ионом) имеет максимальную скорость v_макс. Поэтому

v=(0+ v_макс )/2= v_макс /2. (2)

Максимальная скорость v_макс = аτ, где а— ускорение, сообща­емое электрону электрическим полем; τ — время свободного пробегa. Очевидно, что

τ = λ /(v + u), так как скорость движения электрона на пути λ складывается (геометрически) из его скорости в токе и теп­ловой скорости. Однако, значением v в этой сумме можно пренебречь и считать τ = λ/u. Приравняем между собой два выражения силы F, ускоряющей движение электро­на: F = еЕ и F = mа (где е — заряд, m — масса электрона). Тогда а = еЕ/m. Следовательно, v_макс = еЕλ/(mu) или, учитывая, что Е = U/l,

v_макс = еUλ/(mul), (3)

откуда, согласно формуле (2),

v = eUλ/(2mul). (4)

Подставив выражение (3) в формулу (1), получим следующее выражение для силы тока в проводнике:

I=U/(2mul/ (e²n₀λS)).

Оно представляет собой не что иное, как закон Ома (I=U/R) для участ­ка проводника, сопротивление которого

R = 2mul/ (e²n₀λS). (5)

Плотностью тока называется величина, равная

i=I/S

Соотношение, связывающее плотность тока i в любой точке проводника с напряженностью электрического поля в проводнике в данной точке, называется законом Ома в дифференциальной форме

i=γE,

где γ-удельная проводимость вещества проводника; γ=1/ρ, ρ-удельное сопротивление проводника. Опыт показывает, что в первом приближении сопротивление связано с температурой линейной зависимостью:

R=R₀(1+αt), (6)

где R₀- сопротивление проводника при 0⁰С, t-температура, α-температурный коэффициент сопротивления. Температурный коэффициент сопротивления измеряется в 1/К. Температурный коэффициент сопротивления показывает во сколько раз изменяется сопротивление при изменении температуры на один кельвин.

Вывод закона джоуля—ленца

Дополнительная (т. е. обусловленная действием электрического поля) кинетическая энергия, передаваемая одним электроном одному иону кристаллической решетки при столкновении с ним, равна m (v_макс)²/2. В течение 1 с один электрон передаст решетке энергию

mz(v_макс)²/2,

где z — число столкновений электрона с ионами за 1 с. Очевидно, что z = (u + v)/λ, или, пренебрегая v,

z = u/λ.

Эта энергия идет на нагревание проводника, т. е. переходит в теплоту. Поэтому количество теплоты, выделяемое в единице объема проводника в течение 1 с, равно

mz(v_макс)²n₀/2,

где n₀— концентрация свободных электронов. Следовательно, на участке проводника длиной l площадью поперечного сечения S (см. рис. 3) в течение времени t выделится количество теплоты

Q= muz(v_макс)²n₀St/(2λ)

Подставляя в это равенство выражение v_макс из (4), получим после простых преобразований

Q=

или, учитывая формулу (5),

Q=

получим закон Джоуля—Ленца.